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Hi Leute
Ihr müsst mir unbeding einen Gefallen tun !
Es gibt noch immer drei Begiffe : Bijektiv Surjektiv Injektiv von denen ich nur theoretisch weiss was die bedeuten.
Ich weiss was für Gleichungen am Ende stehen müssen um zu bestimmen was was sein soll. Aber ich habe immer noch kein Ansatz um die aufgabe irgendwie zu rechenen.
kann mir das mal einer an einer ausführlichen aufgabe erkäutern ?
egal was für beispiele am besten so einfach wie möglich natürlich
und wenn jemand eine menge aufgaben inklusive lösungen im inet gefunden hat wäre ich für den link auch sehr dankbar
mfg
asskoenig
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> Hi Leute
Moin,
> Ihr müsst mir unbeding einen Gefallen tun !
nee, das MÜSSEN wir gar nicht! Tun es trotzdem.
> Es gibt noch immer drei Begiffe : Bijektiv Surjektiv
> Injektiv von denen ich nur theoretisch weiss was die
> bedeuten.
Immerhin.
Wollen wir mal schauen, ob wir dem ganzen einen Sinn einhauchen können...
Betrachten wir mal eine Abb. f: V [mm] \to [/mm] W.
A. Angenommen, f sei INJEKTIV
Was bedeutet das? Zu jedem Wert, den f annehmen kann, gibt es nur ein Urbild.
Hat man also x,y [mm] \in [/mm] V mit x [mm] \not= [/mm] y, so gehören zu diesen zwei verschiedene Werte, d. h. f(x) [mm] \not=f(y).
[/mm]
Oder anders: ist f(x)=f(y), so folgt daraus, daß x=y ist. So zeigt man es ja auch. Man setzt an f(x)=f(y), formt fleißig um, zieht seine Schlüsse und will am Ende haben x=y.
Das klappt aber nur, wenn die Funktion wirklich injektiv ist. Ist sie nicht injektiv, reicht ein einziges Gegenbeispiel, x [mm] \not=y [/mm] mit f(x)=f(y).
Beispiel: f: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
f(x):= [mm] e^x
[/mm]
Seien x, y [mm] \in \IR [/mm] mit f(x)=f(y) ==> [mm] e^x=e^y [/mm] ==> (durch logarithmieren) x=y. Also injektiv
Nächstes Beispiel f: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
[mm] f(x):=x^2
[/mm]
Es ist f(2)=4=f(-2), also ist die Funktion nicht injektiv.
B. Nun sei die Funktion f: [mm] V\to [/mm] W SURJEKTIV
surjektiv bedeutet: jedes Element von W wird durch f "erwischt".
Also: zu jedem y [mm] \in [/mm] W gibt es ein x [mm] \in [/mm] V mit f(x)=y.
Wenn man "surjektiv" zeigen will, hat man also die Aufgabe, zu einem beliebigen Element des Zielbereiches ein Element des Definitionsbereiches zu finden, welches es tut.
Findet man ein Gegenbeispiel, ein einziges y [mm] \in [/mm] W, für daß es kein x mit f(x)=y gibt, ist die Funktion nicht surjektiv.
Beispiel f: [mm] \IR^+ \to \IR
[/mm]
f(x):= ln x
Sei y [mm] \in \IR. [/mm] Es ist [mm] e^y \in \IR^+ [/mm] und [mm] f(e^y)=ln(e^y)=y [/mm] Also surjektiv!
Noch ein Beispiel: f: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
[mm] f(x):=x^2
[/mm]
Man findet kein x [mm] \in \IR [/mm] mit f(x)=-1, also ist die Funktion nicht surjektiv.
C. f:V [mm] \to [/mm] W sei BIJEKTIV.
Dann ist f injektiv UND surjektiv. Es gelten also A. und B. und beides ist nachzuweisen.
Ein supereinfaches Beispiel f: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
f(x):= x+5
Ich denke, injektiv und surjektiv kriegst Du hier wirklich selbst hin.
Soviel fürs erste.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 So 23.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
ich möchte dann unbedingt noch auch die MatheBank verweisen :
Diese Frage taucht nämlich nicht unbedingt zum ersten Mal auf..
also, schau doch mal unter :  injektiv
da steht auch sowas:
1.) Wie man an den ersten drei Beispielen sieht, hängt es wesentlich von dem Definitions- bzw. dem Zielbereich ab, ob eine Funktion injektiv bzw. surjektiv ist. Das ergibt sich auch sofort aus den Definitionen.
2.) Genau dann, wenn eine Funktion bijektiv (also injektiv und surjektiv) ist, existiert eine Umkehrfunktion.
3.) Mit Worten beschrieben:
Eine Funktion f heißt:
- injektiv, wenn zwei voneinander verschiedene Elemente aus dem Definitionsbereich stets auch auf zwei voneinander verschiedene Elemente des Zielbereiches abgebildet werden
- surjektiv, wenn für jedes Element des Zielbereiches ein Element im Definitionsbereich so existiert, dass dieses Element des Definitionsbereiches durch f auf das Element des Zielbereiches abgebildet wird
(man könnte aber mal schauen, ob man Angela's Antwort mit einbauen könnte)
viele Grüße
DaMenge
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