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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Do 29.12.2011 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei V ein vektorraum und g:Y->X eine Abbildung. Zeige, dass die Zuordnung F(X,V)->F(Y,V), [mm] f->f\circ\ [/mm] g eine lineare ABbildung ist. Schließe daraus, dass für jede Teilmenge A [mm] \subsetequal\ [/mm] X, die Abbildung F(X,V) ->F(A,V), f -> f [mm] I_A [/mm] linear ist.
Folgere daraus auch, dass für jedes x [mm] \in [/mm] X, die sogennante Evaluationsabbildung [mm] ev_x [/mm] :F(X,V)->V, [mm] {ev}_x [/mm] (f):=f(x) linear ist. |
->Folgere daraus auch, dass für jedes x [mm] \in [/mm] X, die sogennante Evaluationsabbildung [mm] ev_x [/mm] :F(X,V)->V, [mm] {ev}_x [/mm] (f):=f(x) linear ist.
Der Satzt fehlt mir!
Die Abbildung ordnet jeder Funktion f, die von X nach V abbildet, einen Wert aus V zu.
F muss ich also auswerten an einer Stelle x für die Evaluationsabbildung.
Ich hab gesehen, dass die Frage nochwo gepostet ist im Internet(mit dem ich aber nicht viel anfangen kann), aber nicht von mir.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Do 29.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei V ein vektorraum und g:Y->X eine Abbildung. Zeige, dass
> die Zuordnung F(X,V)->F(Y,V), [mm]f->f\circ\[/mm] g eine lineare
> ABbildung ist. Schließe daraus, dass für jede Teilmenge A
> [mm]\subsetequal\[/mm] X, die Abbildung F(X,V) ->F(A,V), f -> f
> [mm]I_A[/mm] linear ist.
> Folgere daraus auch, dass für jedes x [mm]\in[/mm] X, die
> sogennante Evaluationsabbildung [mm]ev_x[/mm] :F(X,V)->V, [mm]{ev}_x[/mm]
> (f):=f(x) linear ist.
>
> ->Folgere daraus auch, dass für jedes x [mm]\in[/mm] X, die
> sogennante Evaluationsabbildung [mm]ev_x[/mm] :F(X,V)->V, [mm]{ev}_x[/mm]
> (f):=f(x) linear ist.
> Der Satzt fehlt mir!
Was fehlt Dir ?
>
> Die Abbildung ordnet jeder Funktion f, die von X nach V
> abbildet, einen Wert aus V zu.
Ja : f [mm] \to [/mm] f(x)
( x ist fest !)
> F muss ich also auswerten an einer Stelle x für die
> Evaluationsabbildung.
f wird ausgewertet !
Zeige: [mm] ev_x(f+g)=ev_x(f)+ev_x(g)
[/mm]
und [mm] ev_x(\lambda f)=\lambda ev_x(f)
[/mm]
FRED
>
> Ich hab gesehen, dass die Frage nochwo gepostet ist im
> Internet(mit dem ich aber nicht viel anfangen kann), aber
> nicht von mir.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Do 29.12.2011 | | Autor: | quasimo |
Ja eben der letzte Absatz fehlt mir zu beweisen!
> Folgere daraus auch, dass für jedes x $ [mm] \in [/mm] $ X, die sogennante Evaluationsabbildung $ [mm] ev_x [/mm] $ :F(X,V)->V, $ [mm] {ev}_x [/mm] $ (f):=f(x) linear ist
> Die Abbildung ordnet jeder Funktion f, die von X nach V
> abbildet, einen Wert aus V zu.
> Ja : f $ [mm] \to [/mm] $ f(x)
> ( x ist fest !)
F(X,V) -> F({x},V)
> Zeige: $ [mm] ev_x(f+g)=ev_x(f)+ev_x(g) [/mm] $
> und $ [mm] ev_x(\lambda f)=\lambda ev_x(f) [/mm] $
Was zeige ich damit im allgemeinen? Mir ist dass jetzt nicht so ganz klar.
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> Ja eben der letzte Absatz fehlt mir zu beweisen!
> > Folgere daraus auch, dass für jedes x [mm]\in[/mm] X, die
> sogennante Evaluationsabbildung [mm]ev_x[/mm] :F(X,V)->V, [mm]{ev}_x[/mm]
> (f):=f(x) linear ist
>
>
> > Die Abbildung ordnet jeder Funktion f, die von X nach V
> > abbildet, einen Wert aus V zu.
>
> > Ja : f [mm]\to[/mm] f(x)
>
> > ( x ist fest !)
> F(X,V) -> F({x},V)
>
> > Zeige: [mm]ev_x(f+g)=ev_x(f)+ev_x(g)[/mm]
>
> > und [mm]ev_x(\lambda f)=\lambda ev_x(f)[/mm]
> Was zeige ich damit
> im allgemeinen? Mir ist dass jetzt nicht so ganz klar.
Hallo,
mir ist nicht klar, was Dir nicht klar ist...
Wenn Du die beiden Gleichheiten gezeigt hast, hast Du die Linearität von [mm] ev_x [/mm] gezeigt - Du hast sie dann allerdings nicht aus dem zuvor Bewiesenen gefolgert.
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Sa 31.12.2011 | | Autor: | quasimo |
> Hallo,
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> mir ist nicht klar, was Dir nicht klar ist...
> Wenn Du die beiden Gleichheiten gezeigt hast, hast Du die
> Linearität von [mm]ev_x[/mm] gezeigt - Du hast sie dann allerdings
> nicht aus dem zuvor Bewiesenen gefolgert.
Ja und genau, dass soll ich ja ... AUs dem zuvorgezeigten folgern und die überlegung fehlt mir!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 So 01.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > Hallo,
> >
> > mir ist nicht klar, was Dir nicht klar ist...
> > Wenn Du die beiden Gleichheiten gezeigt hast, hast Du
> die
> > Linearität von [mm]ev_x[/mm] gezeigt - Du hast sie dann allerdings
> > nicht aus dem zuvor Bewiesenen gefolgert.
> Ja und genau, dass soll ich ja ... AUs dem zuvorgezeigten
> folgern und die überlegung fehlt mir!
Du sollst im Prinzip nur begründen, warum die Evaluationsabbildung (und noch die andere, die da stand) eine Abbildung der Form
$$F(X,V) [mm] \to [/mm] F(Y,V), f [mm] \mapsto f\circ\ [/mm] g$$
ist bzw. wie man sie in dieser Form schreiben kann. Denn dann kannst Du das zuvor bewiesen verwenden.
Sowas kennst Du doch, ich konstruiere mal eine analoge (einfachere?) Aufgabe:
Zeigen Sie:
1.) Wenn $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] differenzierbar und $g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] differenzierbar, dann ist auch $f [mm] \circ [/mm] g$ differenzierbar und es gilt für jedes reelle [mm] $x\,$ [/mm] die Gleichheit
$$(f [mm] \circ g)'(x)=f'(g(x))*g'(x)\,.$$
[/mm]
2.) Folgern Sie damit, dass [mm] $(\sin^n(x))'=n*\cos^{n-1}(x)$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] gilt.
Dann beweißt Du 1.). Und um damit nun 2.) zu lösen, sagst Du:
Wir betrachten nun [mm] $f(x):=x^n$ [/mm] und [mm] $g(x):=\sin(x)$ [/mm] jeweils als Funktionen [mm] $\IR \to \IR\,.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $$\sin^n(x)=(\sin(x))^n=f(\sin(x))=f(g(x))=(f \circ g)(x)\,,$$
[/mm]
also kann man mit den Funktionen $f,g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^n$ [/mm] und [mm] $g(x)=\sin(x)\,,$ [/mm] welche beide auch auf [mm] $\IR$ [/mm] differenzierbar sind, schreiben
[mm] $$\sin^n(x)=(f \circ [/mm] g)(x)$$
und für die Ableitung (nach [mm] $x\,$) [/mm] gilt daher
[mm] $$(\sin^n(x))'=(f \circ g)'(x)\,.$$
[/mm]
Jetzt wenden wir 1.) an und erhalten (wegen [mm] $f'(x)=nx^{n-1}$ [/mm] und [mm] $g'(x)=\cos(x)$)...
[/mm]
D.h.: Du hast bei 2.) "alles so umgeschrieben, dass Du danach erkennst, wie Du 1.) dann anwenden kannst". Manchmal gibt's auch "mehrere Möglichkeiten, das entsprechend umzuschreiben" - wichtig ist halt, dass Du mindestens eine der Möglichkeiten "konkret" vorführst - das sollte natürlich insbesondere beinhalten, dass natürlich auch alle Voraussetzungen des zuvor bewiesenen Satzes anwendbar sind, und natürlich macht's oft auch Sinn, ggf. andere Ergebnisse mitzuverwenden: Bei der von mir oben gestellten Aufgabe wären das etwa die Resultate [mm] $(x^n)'=n*x^{n-1}$ [/mm] und [mm] $\sin'(x)=\cos(x)$ [/mm] gewesen...
Also eigentlich:
Beweise eine allgemeine Aufgabe. Wende sie nun auf einen Spezialfall an - und zwar, indem Du begründest, wieso das bei diesem Spezialfall geht (das kann mal mehr, mal weniger offensichtlich sein; manchmal ist's total banal, manchmal muss man erstmal mühsam eine Menge Vorarbeit leisten, oder "ein gutes Auge haben"... so, wie's halt meistens in der Mathematik ist!)
Gruß,
Marcel
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