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| Aufgabe | Stöbern sie in ihren alten mathematikbüchern und finden sie die Koordinatendarstellung der Spiegelung an einer Geraden g, wobei die Gerade g festgelegt ist durch
[mm] G:{(x,y)\in \IR^2:y=mx+b , m,b\in \IR fest}
[/mm]
Ist jetzt (x,y) ein beliebiger Punkt in [mm] \IR^2, [/mm] so hat der gespiegelte Punkt neue Koordinaten [mm] (\overline{x}, \overline{y}) [/mm] die sich durch x,y,m und b ausdrücken lassen. Man kann also die Spiegelung beschrieben durch
[mm] S:\IR^2\to \IR^2 [/mm] ; [mm] (x,y)\mapsto [/mm] ( [mm] \overline{x} [/mm] (x,y,b,m), [mm] \overline{y} [/mm] (x,y,b,m))
Zu finden sind die Formeln für [mm] \overline{x}, \overline{y}
[/mm]
b) Zeige: Die Abbildung S ist bijektiv |
Nachem ich nun 2 Tage lang alle Bücher gewälzt habe und nix hinbekommen habe, ist nun eure Hilfe meine letzte Rettung.....Ich verstehe Geradengleichung aber ich weiß nicht was ich für eine Formel finden soll und auch nicht wie ich hier Bijektivität nachweisen soll....Bijektivität liegt ja vor, wenn S injektiv und surjektiv ist, aber ich kann das an dem komischen Beispiel nicht zeigen.
Ich bitte um eure Hilfe!!!
Mathegirl
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> finden
> sie die Koordinatendarstellung der Spiegelung an einer
> Geraden g, wobei die Gerade g festgelegt ist durch
>
> [mm]G:{(x,y)\in \IR^2:y=mx+b , m,b\in \IR fest}[/mm]
>
> Ist jetzt (x,y) ein beliebiger Punkt in [mm]\IR^2,[/mm] so hat der
> gespiegelte Punkt neue Koordinaten [mm](\overline{x}, \overline{y})[/mm]
> die sich durch x,y,m und b ausdrücken lassen. Man kann
> also die Spiegelung beschrieben durch
>
> [mm]S:\IR^2\to \IR^2[/mm] ; [mm](x,y)\mapsto[/mm] ( [mm]\overline{x}[/mm] (x,y,b,m),
> [mm]\overline{y}[/mm] (x,y,b,m))
>
> Zu finden sind die Formeln für [mm]\overline{x}, \overline{y}[/mm]
Hallo,
es ist
[mm] $\vektor{\overline{x}\\\overline{y}}$=[/mm] [mm]\pmat{ \frac{1-m^2}{1+m^2} & \frac{2m}{1+m^2} \\
\frac{2m}{1+m^2} & \frac{m^2-1}{1+m^2} } *\vektor{x \\
y-b}+\vektor{0 \\
b}[/mm],
Also [mm] $S(\vektor{x\\y})$:=$\pmat{ \frac{1-m^2}{1+m^2} & \frac{2m}{1+m^2} \\ \frac{2m}{1+m^2} & \frac{m^2-1}{1+m^2} } *\vektor{x \\ y-b}+\vektor{0 \\ b}$.
[/mm]
>
>
> b) Zeige: Die Abbildung S ist bijektiv
Was ist für Injektivität zu zeigen?
Und was für Surjektivität?
Gruß v. Angela
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