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Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:02 Di 01.12.2009
Autor: Matheproof

Hallo,

Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiß wie ich es mathematisch hinschreiben soll.

Seien A und B nicht -leere endliche Mengen. Zeige:
a) Es gibt genau dann eine injektive Abbildung f: A--> B wenn # [mm] A\le [/mm] #B
b) Es gibt genau dann eine surjektive Abbildung f: A--> B wenn # [mm] A\ge [/mm] #B
c) Es gibt genau dann eine bijektive Abbildung f: A--> B wenn #A=#B

Meine Lösungsansatz:
für a)

gezeigt durch Widerspruch:
Wenn #A>#B (Menge A hat mehr Elemente als B)
Dann tritt mindestens ein Element aus dem Bildbereich mehrmals auf.
Da f injektiv ist, heißt das, dass es zu jedem Element in A genau ein Bildelement in B gibt. Daraus folgt: f hat genau m verschiedene Elemente in B
--> Widerspruch
Wenn alle Elemente aus dem Bildbereich verschieden wären,dann wäre #A<=#B gewesen.


Danke im Voraus =)




        
Bezug
Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 Mi 02.12.2009
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiß wie ich
> es mathematisch hinschreiben soll.
>  
> Seien A und B nicht -leere endliche Mengen. Zeige:
>  a) Es gibt genau dann eine injektive Abbildung f: A--> B

> wenn # [mm]A\le[/mm] #B
>  b) Es gibt genau dann eine surjektive Abbildung f: A--> B

> wenn # [mm]A\ge[/mm] #B
>  c) Es gibt genau dann eine bijektive Abbildung f: A--> B

> wenn #A=#B
>  
> Meine Lösungsansatz:
>  für a)
>  
> gezeigt durch Widerspruch:
>  Wenn #A>#B (Menge A hat mehr Elemente als B)
>  Dann tritt mindestens ein Element aus dem Bildbereich
> mehrmals auf.

Was meinst Du damit ?




>  Da f injektiv ist, heißt das, dass es zu jedem Element in
> A genau ein Bildelement in B gibt.

Du bist ertappt ! Du weißt nicht was "injektiv" bedeutet !

Also mach Dich schlau und geh dann nochmal an die Aufgabe ran

FRED


>  Daraus folgt: f hat
> genau m verschiedene Elemente in B
>  --> Widerspruch

>  Wenn alle Elemente aus dem Bildbereich verschieden
> wären,dann wäre #A<=#B gewesen.
>  
>
> Danke im Voraus =)
>  
>
>  


Bezug
                
Bezug
Abbildungen: SchulMatheLexikon
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:13 Mi 02.12.2009
Autor: informix

Hallo MatheProof,

[guckstduhier] MBSchulMatheLexikon speziell: MBinjektiv

> > Hallo,
>  >  
> > Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiß wie ich
> > es mathematisch hinschreiben soll.
>  >  
> > Seien A und B nicht -leere endliche Mengen. Zeige:
>  >  a) Es gibt genau dann eine injektive Abbildung f: A-->

> B
> > wenn # [mm]A\le[/mm] #B
>  >  b) Es gibt genau dann eine surjektive Abbildung f: A-->

> B
> > wenn # [mm]A\ge[/mm] #B
>  >  c) Es gibt genau dann eine bijektive Abbildung f: A-->

> B
> > wenn #A=#B
>  >  
> > Meine Lösungsansatz:
>  >  für a)
>  >  
> > gezeigt durch Widerspruch:
>  >  Wenn #A>#B (Menge A hat mehr Elemente als B)
>  >  Dann tritt mindestens ein Element aus dem Bildbereich
> > mehrmals auf.
>  
> Was meinst Du damit ?
>  
>
>
>
> >  Da f injektiv ist, heißt das, dass es zu jedem Element in

> > A genau ein Bildelement in B gibt.
>  
> Du bist ertappt ! Du weißt nicht was "injektiv" bedeutet
> !
>  
> Also mach Dich schlau und geh dann nochmal an die Aufgabe
> ran
>  
> FRED
>  
>
> >  Daraus folgt: f hat

> > genau m verschiedene Elemente in B
>  >  --> Widerspruch

>  >  Wenn alle Elemente aus dem Bildbereich verschieden
> > wären,dann wäre #A<=#B gewesen.
>  >  
> >
> > Danke im Voraus =)
>  >  
> >
> >  


Gruß informix

Bezug
                
Bezug
Abbildungen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:33 Mi 02.12.2009
Autor: Matheproof

hier nochmal anders formuliert:

Damit meine ich folgendes:
Angenommen die Menge A hat 3 Elemente und B 2 Elemente.
Nach der Definition der Injektivität gilt für alle a,a‘ [mm] \in [/mm] A: a [mm] \not= [/mm] a‘ -->       f( a )   [mm] \not=f(a‘) [/mm]
In dem obigen Fall führt dies ja zum Widerspruch: Denn einem Element aus  B darf höchstens ein Element aus A zugeordnet werden. In der Menge A würde dann 1 Element übrig bleiben. Würde man diesem Element ein Element in B zuordnen, dann wäre die Injektivität verletzt worden: f ( a )=f(a‘)  (2 Elemente in A bilden  1 Element in B ab) <- darf nicht sein (Widerspruch)


Bezug
                        
Bezug
Abbildungen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:20 Do 03.12.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Mi 02.12.2009
Autor: Teufel

Hi!

Am besten, du schreibst nochmal hin, was du genau zeigen willst (denn du musst ja 2 Richtungen zeigen).

Du zeigst also zuerst: [mm] $\text{f inj.} \Rightarrow [/mm] |A| [mm] \le [/mm] |B|$.

Stattdessen kann man auch zeigen: $|A|>|B| [mm] \Rightarrow \text{f nicht inj.}$ [/mm]

Gilt also |A|>|B|, so kann f nach dem []Schubfachprinzip nicht injektiv sein.

Dann fehlt noch die andere Richtung:
$|A| [mm] \le [/mm] |B| [mm] \Rightarrow \text{f inj.}$ [/mm]

Sei also $|A| [mm] \le [/mm] |B|$. Nun kannst du versuchen eine injektive Funktion f zu konstruieren.

[anon] Teufel

Bezug
                
Bezug
Abbildungen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:00 Mi 02.12.2009
Autor: Matheproof

Also:ist das jetzt formal und inhaltlich richtig?

zeige: $ |A|>|B| [mm] \Rightarrow \text{f nicht inj.} [/mm] $
Sei |A|>|B|. Das bedeutet, dass die Menge A mehr Elemente besitzt als die Menge B. Da nun f injektiv ist, heißt das, dass  jedem Element aus  B höchstens ein Element aus A zugeordnet wird. Daraus folgt: f hat genau |A| verschiedene Elemente in B
--> Widerspruch, da B nur |B| Elemente hat. Also hat [mm] |A|\le|B| [/mm] gegolten.

die andere Richtung:
$ |A| [mm] \le [/mm] |B| [mm] \Rightarrow \text{f inj.} [/mm] $
Sei also $ |A| [mm] \le [/mm] |B| $. D.h. die Anzahl der Elemente in B ist mindestens so groß wie die in A. Also kann jedem Element in B höchstens 1 Element aus A zugeordnet werden->injektiv

(Ich weiß nicht, ob die 2.Richtung richtig ist )

Danke für die Antwort



Bezug
                        
Bezug
Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Mi 02.12.2009
Autor: Teufel

Hi nochmal!

Nur noch eine Formsache:
Am besten wäre es, wenn man das auch so formuliert:
$|A|>|B| [mm] \Rightarrow \text{es existiert keine injektive Funktion} [/mm] f:A [mm] \to [/mm] B$. Damit man auch diesen Existenzbegriff drinnen hat, der auch in der Aufgabe steht. Finde ich zumindest genauer.

Aber wie auch immer:

> Also:ist das jetzt formal und inhaltlich richtig?
>  
> zeige: [mm]|A|>|B| \Rightarrow \text{f nicht inj.}[/mm]
>  Sei
> |A|>|B|. Das bedeutet, dass die Menge A mehr Elemente
> besitzt als die Menge B. Da nun f injektiv ist, heißt das,
> dass  jedem Element aus  B höchstens ein Element aus A
> zugeordnet wird.

Hier wolltest du A und B vertauschen, oder?

> Daraus folgt: f hat genau |A| verschiedene
> Elemente in B
>  --> Widerspruch, da B nur |B| Elemente hat. Also hat

> [mm]|A|\le|B|[/mm] gegolten.

Würde ich so Unterschreiben. Nur, dass du es besser schreibst, dass B dann mindestens |A| Elemente haben müsste. Aber vielleicht sollte nochmal ein Mitglied mit mehr Erfahrung drübergucken.

>  
> die andere Richtung:
>  [mm]|A| \le |B| \Rightarrow \text{f inj.}[/mm]
>  Sei also [mm]|A| \le |B| [/mm].
> D.h. die Anzahl der Elemente in B ist mindestens so groß
> wie die in A. Also kann jedem Element in B höchstens 1
> Element aus A zugeordnet werden->injektiv
>  
> (Ich weiß nicht, ob die 2.Richtung richtig ist )
>  
> Danke für die Antwort
>  
>  

Ja, die Richtung ist noch etwas schwammig. Ich würde hier eher versuchen, f zu konstruieren, also eine Art Bildungsanschrift angeben, wie f denn funktionieren soll.
Denn du musst ja auch nur zeigen, dass es solch eine Funktion f gibt.

[anon] Teufel

Bezug
                        
Bezug
Abbildungen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:20 Do 03.12.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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