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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Mo 07.05.2007 | | Autor: | dilek83 |
| Aufgabe | Es sei f eine Abbildung von A auf B, f: A [mm] \to [/mm] B, und es sei U [mm] \subset [/mm] A, V [mm] \subset [/mm] A, C [mm] \subset [/mm] B, D [mm] \subset [/mm] B.
Beweisen Sie:
f(U [mm] \cap [/mm] V) [mm] \subset [/mm] f(U) [mm] \cap [/mm] f(V) und [mm] f^{-1} [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D) = [mm] f^{-1} [/mm] (C) [mm] \cup f^{-1} [/mm] (D).
Geben Sie ein Gegenbeispiel an, dass die Inklusion f(U [mm] \cap [/mm] V) [mm] \supset [/mm] f(U) [mm] \cap [/mm] f(V) im Allgemeinen nicht gilt. |
hallo leute,
ich bin echt verzweifelt, denn schon morgen muss ich die HA abgeben. ich hab selber lange überlegt, wie ich die Aufgabe lösen könnte und hab auch in verschiedenen Analysis-Büchern nachgeschlagen, aber vergebens :(
ich tu mir so schwer damit und wäre dankbar für jede Information und Hilfe von euch. Vielleicht schaff ich es auch später selber mit dem Gegenbeispiel...
vielen dank nochmal im voraus :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei f eine Abbildung von A auf B, f: A [mm]\to[/mm] B, und es sei
> U [mm]\subset[/mm] A, V [mm]\subset[/mm] A, C [mm]\subset[/mm] B, D [mm]\subset[/mm] B.
> Beweisen Sie:
> f(U [mm]\cap[/mm] V) [mm]\subset[/mm] f(U) [mm]\cap[/mm] f(V) und [mm]f^{-1}[/mm] (C [mm]\cup[/mm] D) =
> [mm]f^{-1}[/mm] (C) [mm]\cup f^{-1}[/mm] (D).
> Geben Sie ein Gegenbeispiel an, dass die Inklusion f(U
> [mm]\cap[/mm] V) [mm]\supset[/mm] f(U) [mm]\cap[/mm] f(V) im Allgemeinen nicht gilt.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mir helfen bei solchen Aufgaben kleine Bildchen sehr, solche, wo ich für die Elemente der Mengen Pünktchen male und durch Pfeile anzeige, welches Element auf welches abgebildet wird.
Natürlich ersetzt das keinen Beweis, aber ich komme so besser auf Ideen.
Wenn Du
> f(U [mm]\cap[/mm] V) [mm]\subset[/mm] f(U) [mm]\cap[/mm] f(V)
zeigen möchtest, kannst Du das elementweise tun. Zeigen, daß jedes Element, welches in f(U [mm]\cap[/mm] V) liegt, auch in f(U) [mm]\cap[/mm] f(V) liegt. Das ist es ja gerade, was "ist Teilmenge" bedeutet.
Fangs so an:
Sei y [mm] \in [/mm] f(U [mm]\cap[/mm] V).
[Was bedeutet das? Auf y wird irgendein Elemnt aus U [mm]\cap[/mm] V abgebildet:]
Dann gibt es ein [mm] x\in [/mm] U [mm]\cap[/mm] V mit f(x)=y.
[ Was bedeutet es, daß x im Schnitt von U und V liegt? x liegt in jeder der beiden Mengen.]
==> (x [mm] \in [/mm] U und f(x)=y) und [mm] (x\in [/mm] V und f(x)=y)
==> [mm] y\in... [/mm] und [mm] y\in...
[/mm]
==> [mm] y\in [/mm] ...
Fürs Gegenbeispiel versuche, Dir eine kleine übersichtliche Funktion zu malen, wenn die Menge A nur drei oder vier Elemente hat, macht das nichts.
Die Aufgabe mit [mm] f^{-1} [/mm] kannst Du nun in ähnlichem Stil wie oben allein versuchen.
Guck erst, wie [mm] f^{-1} [/mm] von einer Menge definiert ist, beachte, was mit "vereinigt" gemeint ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mo 07.05.2007 | | Autor: | dilek83 |
danke, so langsam geht mir ein licht auf..
aber eins ist noch unklar. die erste stelle mit dem
==> ....
kannst du mir hier noch ein wenig weiter helfen?
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> danke, so langsam geht mir ein licht auf..
> aber eins ist noch unklar. die erste stelle mit dem
> ==> ....
> kannst du mir hier noch ein wenig weiter helfen?
Ich weiß nicht genau, welche Stelle Du meinst.
Hast Du den "Zitieren"_Button schon gsehen, links unter dem Eingabefenster?
Damit kannst Du den Text, auf welchen Du Dich beziehst ins Fenster kopieren.
> Dann gibt es ein $ [mm] x\in [/mm] $ U $ [mm] \cap [/mm] $ V mit f(x)=y.
> [ Was bedeutet es, daß x im Schnitt von U und V liegt? x liegt in jeder der beiden Mengen.]
> ==> (x $ [mm] \in [/mm] $ U und f(x)=y) und $ [mm] (x\in [/mm] $ V und f(x)=y)
das hier ist, weil x in U und in V liegt und f(x)=y gilt
> ==> $ [mm] y\in... [/mm] $ und $ [mm] y\in... [/mm] $
hier mußt Du Dir mithilfe der Definition f(Menge) überlegen, in welchen Mengen y liegt. Das Ziel kennst Du ja.
> ==> $ [mm] y\in [/mm] $ ...
Gruß v. Angela
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