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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Mi 11.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
| Aufgabe | Es seien X und Y endliche Mengen. Zeigen Sie:
i)|X| [mm] \le [/mm] |Y| [mm] \gdw [/mm] Es existiert eine injektive Abbildung f: X [mm] \to [/mm] Y
ii) |X| [mm] \ge [/mm] |Y| [mm] \gdw [/mm] Es existiert eine surjektive Abbildung f: X [mm] \to [/mm] Y. |
Ich habe beide Aufgaben gelöst und würde gerne wissen ob mein Lösungsweg und meine Lösung richtig sind.
Danke schon mal im voraus.
i)I |X| [mm] \le [/mm] |Y| [mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert eine injektive Abbildung f:X [mm] \to [/mm] Y
II |X| [mm] \le [/mm] |Y| [mm] \Leftarrow [/mm] Es existiert eine injektive Abbildung f:X [mm] \to [/mm] Y
I Sei X= { [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] } und Y= { [mm] y_{1},...,y_{m} [/mm] } n,m [mm] \in \IR
[/mm]
n [mm] \le [/mm] m.
Definiere f( [mm] x_{i} [/mm] )= [mm] y_{i} [/mm] (Funktionsvorschrift einer Abbildung) i [mm] \in \IR [/mm] i=1,...,n
Definiere f( [mm] x_{a} [/mm] )= [mm] y_{a} [/mm] a [mm] \in [/mm] i
Definiere f( [mm] x_{b} [/mm] )= [mm] y_{b} [/mm] b [mm] \in [/mm] i
Falls [mm] y_{a} [/mm] = [mm] y_{b} \Rightarrow f(x_{a}) [/mm] = [mm] f(x_{b}) \Rightarrow x_{a} [/mm] = [mm] x_{b}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f injektiv. Das heißt, es werden n Elemente höchstens einmal getroffen und die restlichen m-n Elemente werden nicht abgebildet [mm] \Rightarrow [/mm] Injektivität
II
Definiere [mm] f(x_{i})=y_{i} [/mm] (Funktionsvorschrift einer Abbildung) i [mm] \in \IR [/mm] i=1,...,n
Definiere [mm] f(x_{a})=y_{a} [/mm] a [mm] \in [/mm] i
Definiere [mm] f(x_{b})=y_{b} [/mm] b [mm] \in [/mm] i
Falls [mm] y_{a}=y_{b} \Rightarrow f(x_{a})=f(x_{b}) \Rightarrow x_{a}=x_{b} [/mm] mit y [mm] \in [/mm] Y und x [mm] \in [/mm] X
X muss eine kleine Menge sein also |X| [mm] \le [/mm] |Y|, damit keine Elemente doppelt getroffen werden, weil der Definitionsbereich nicht größer sein darf als der Wertebereich.
[mm] \Rightarrow [/mm] X= [mm] \{ x_{1},...,x_{n} } [/mm] und Y= [mm] \{ y_{1},...,y_{m} } [/mm] n,m [mm] \in \IR [/mm] n [mm] \le [/mm] m.
ii)
I |X| [mm] \ge [/mm] |Y| [mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert eine surjektive Abbildung f: X [mm] \to [/mm] Y.
II |X| [mm] \ge [/mm] |Y| [mm] \Leftarrow [/mm] Es existiert eine surjektive Abbildung f: X [mm] \to [/mm] Y.
I. Sei X= { [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] } und Y= { [mm] y_{1},...,y_{m} [/mm] } n,m [mm] \in \IR [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] m
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] y [mm] \IN [/mm] Y [mm] \exists [/mm] x [mm] \IN [/mm] X f(x)=y
Da |X| [mm] \ge [/mm] |Y| ist gibt es für jedes y [mm] \in [/mm] Y mindestens ein x \ X welches erfüllt f(x)=y. Das heißt, jedes Element von Y wird abgebildet [mm] \Rightarrow [/mm] surjektiv.
II Sei [mm] \forall [/mm] y [mm] \IN [/mm] Y [mm] \exists [/mm] x [mm] \IN [/mm] X f(x)=y, zz |X| [mm] \ge [/mm] |Y|
Da surjektiv, wird jedes Element aus Y mindestens einmal abgebildet.
[mm] \Rightarrow [/mm] muss also |X| [mm] \ge [/mm] |Y| gelten damit jedes Element Y getroffen wird aber nicht doppelt.
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> Es seien X und Y endliche Mengen. Zeigen Sie:
> i)|X| [mm]\le[/mm] |Y| [mm]\gdw[/mm] Es existiert eine injektive Abbildung
> f: X [mm]\to[/mm] Y
>
> ii) |X| [mm]\ge[/mm] |Y| [mm]\gdw[/mm] Es existiert eine surjektive
> Abbildung f: X [mm] \to [/mm] Y.
> Ich habe beide Aufgaben gelöst und würde gerne wissen ob
> mein Lösungsweg und meine Lösung richtig sind.
> Danke schon mal im voraus.
>
> i)I |X| [mm]\le[/mm] |Y| [mm]\Rightarrow[/mm] Es existiert eine injektive
> Abbildung f:X [mm] \to [/mm] Y
>
> II |X| [mm]\le[/mm] |Y| [mm]\Leftarrow[/mm] Es existiert eine injektive
> Abbildung f:X [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Y
>
> I Sei X= { [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} und Y= { [mm]y_{1},...,y_{m}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> n,m [mm]\in \IR[/mm]
woher die roten Fehlermarkierungen kommen, weiß ich nicht, ich habe dich nur zitiert.
> n [mm]\le[/mm] m.
> Definiere f( [mm]x_{i}[/mm] )= [mm]y_{i}[/mm] (Funktionsvorschrift einer
> Abbildung) i [mm]\in \IR[/mm] i=1,...,n
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") evtl. noch: f ist eine Fkt., da jedem [mm] x_i [/mm] aus X genau ein [mm] y_i [/mm] aus Y zugeordnet wird.
> Definiere f( [mm]x_{a}[/mm] )= [mm]y_{a}[/mm] a [mm]\in[/mm] i ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") i ist keine Menge. Diese Zeile ist aber überflüssig.
> Definiere f( [mm]x_{b}[/mm] )= [mm]y_{b}[/mm] b [mm]\in[/mm] i i ist keine Menge. Diese Zeile ist ebenfalls überflüssig.
> Falls [mm]y_{a}[/mm] = [mm]y_{b} \Rightarrow f(x_{a})[/mm] = [mm]f(x_{b}) \Rightarrow x_{a}[/mm]
> = [mm]x_{b}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f injektiv.
Schöner: Sei nun [mm] f(x_a)=f(x_b) [/mm] (beachte die logische Reihenfolge!) [mm] \Rightarrow y_a [/mm] = [mm] y_b \Rightarrow [/mm] a=b, (gleiche Indices, da zu verschiedenen Indices verschiedene y gehören) [mm] \Rightarrow x_a [/mm] = [mm] x_b \Rightarrow [/mm] f injektiv.
> Das heißt, es werden n Elemente
> höchstens einmal getroffen und die restlichen m-n Elemente
> werden nicht abgebildet [mm]\Rightarrow[/mm] Injektivität
>
> II
Die folgende Argumentation ist unverständlich.
Fang so an: Angenommen, es gibt eine injektive Funktion f: X [mm] \rightarrow [/mm] Y. Dann ...
> Definiere [mm]f(x_{i})=y_{i}[/mm] (Funktionsvorschrift einer
> Abbildung) i [mm]\in \IR[/mm] i=1,...,n
> Definiere [mm]f(x_{a})=y_{a}[/mm] a [mm]\in[/mm] i
> Definiere [mm]f(x_{b})=y_{b}[/mm] b [mm]\in[/mm] i
>
> Falls [mm]y_{a}=y_{b} \Rightarrow f(x_{a})=f(x_{b}) \Rightarrow x_{a}=x_{b}[/mm]
> mit y [mm]\in[/mm] Y und x [mm]\in[/mm] X
> X muss eine kleine Menge sein also |X| [mm]\le[/mm] |Y|, damit
> keine Elemente doppelt getroffen werden, weil der
> Definitionsbereich nicht größer sein darf als der
> Wertebereich.
"weil der Definitionsbereich nicht größer sein darf als der Wertebereich" darfst du nicht als Argument verwenden, weil du das ja gerade noch beweisen sollst!
> [mm]\Rightarrow[/mm] X= [mm]\{ x_{1},...,x_{n} }[/mm] und Y= [mm]\{ y_{1},...,y_{m} }[/mm]
> n,m [mm]\in \IR[/mm] n [mm]\le[/mm] m.
>
>
> ii)
> I |X| [mm]\ge[/mm] |Y| [mm]\Rightarrow[/mm] Es existiert eine surjektive
> Abbildung f: X [mm]\to[/mm] Y.
> II |X| [mm]\ge[/mm] |Y| [mm]\Leftarrow[/mm] Es existiert eine surjektive
> Abbildung f: X [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Y.
>
> I. Sei X= { [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} und Y= { [mm]y_{1},...,y_{m}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> n,m [mm]\in \IR[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] m
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] y [mm]\IN[/mm] Y [mm]\exists[/mm] x [mm]\IN[/mm] X f(x)=y
> Da |X| [mm]\ge[/mm] |Y| ist gibt es für jedes y [mm]\in[/mm] Y mindestens
> ein x \ X welches erfüllt f(x)=y. Das heißt, jedes
> Element von Y wird abgebildet [mm]\Rightarrow[/mm] surjektiv.
>
Für [mm] f(x)=y_1 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X hast du eine Abbildung, die nicht surjektiv ist, wenn Y mindestens 2 Elemente enthält. Du musst schon eine konkrete Abbildung angeben.
Beispiel:
[mm] f(x_i)=\begin{cases} y_i, & \mbox{für } i < m \mbox{ } \\ y_m, & \mbox{für } i \ge m \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
> II Sei [mm]\forall[/mm] y [mm]\IN[/mm] Y [mm]\exists[/mm] x [mm]\IN[/mm] X f(x)=y, zz |X| [mm]\ge[/mm]
> |Y|
> Da surjektiv, wird jedes Element aus Y mindestens einmal
> abgebildet.
Da kein x auf mehr als ein y abgebildet wird, muss es mindestens genau so viele x wie y geben.
> [mm]\Rightarrow[/mm] muss also |X| [mm]\ge[/mm] |Y| gelten damit jedes
> Element Y getroffen wird aber nicht doppelt.
Warum nicht doppelt? in meinem Beispiel oben wird [mm] y_m [/mm] evtl. mehrfach getroffen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:01 Do 12.11.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lars.P!
> Es seien X und Y endliche Mengen. Zeigen Sie:
> i)|X| [mm]\le[/mm] |Y| [mm]\gdw[/mm] Es existiert eine injektive Abbildung
> f: X [mm]\to[/mm] Y
>
> ii) |X| [mm]\ge[/mm] |Y| [mm]\gdw[/mm] Es existiert eine surjektive
> Abbildung f: X [mm]\to[/mm] Y.
Die Aussage ii) ist im Allgemeinen falsch.
Genauer gesagt stimmt sie genau dann nicht, wenn [mm] $Y=\emptyset$ [/mm] und [mm] $X\not=\emptyset$.
[/mm]
Zur Abhilfe würde ich zusätzlich [mm] $Y\not=\emptyset$ [/mm] voraussetzen.
Viele Grüße
Tobias
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