Abbildung zw. unendl. Mengen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Sa 07.11.2009 | | Autor: | dayscott |
| Aufgabe 1 | | Es soll gezeigt werden, dass die Menge N und die Menge N x N gleich mächtig sind. Geben Sie eine Vorschrift an, wie man alle Elemente N x N durchlaufen kann. |
| Aufgabe 2 | | Gesucht ist eine Abbildung f: [mm] \IZ \to \IQ^{+} \cup \{0\} [/mm]. Die Abbildung soll surjektiv sein. |
| Aufgabe 3 | | Gesucht ist g: [mm] \IQ^{+} \to \IN [/mm]. g soll injektiv sein. |
meine Lösungsansätze, bitte verifiziert ob diese i.O. sind:
Ansatz zu Aufg 1.
Diagonalisierung (http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument)
Ansatz zu Aufg 2.
Da [mm]\IQ \to \IN[/mm] bijektiv, ist auch [mm]\IN \to \IQ[/mm]
bijektiv. Da [mm]\Z \to \IN[/mm] bijektiv ist, ist durch logischen Schluss auch [mm]\Z \to \IQ[/mm] bijektiv. (bin mir hier eigentlich sicher dass man so argumentieren darf, nur leider ist das dann immernoch nicht die gesuchte Abbidung, d.h. wie stelle ich mein Ergebnis formal dar?
Ansatz zu Aufg 3.
Diagonalisierung ( http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Sa 07.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Es soll gezeigt werden, dass die Menge N und die Menge N x
> N gleich mächtig sind. Geben Sie eine Vorschrift an, wie
> man alle Elemente N x N durchlaufen kann.
> Gesucht ist eine Abbildung f: [mm]\IZ \to \IQ^{+} \cup \{0\} [/mm].
> Die Abbildung soll surjektiv sein.
> Gesucht ist g: [mm]\IQ^{+} \to \IN [/mm]. g soll injektiv sein.
> meine Lösungsansätze, bitte verifiziert ob diese i.O.
> sind:
>
> Ansatz zu Aufg 1.
> Diagonalisierung
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument)
>
> Ansatz zu Aufg 2.
> Da [mm]\IQ \to \IN[/mm] bijektiv, ist auch [mm]\IN \to \IQ[/mm]
>
> bijektiv. Da [mm]\Z \to \IN[/mm] bijektiv ist, ist durch logischen
> Schluss auch [mm]\Z \to \IQ[/mm] bijektiv. (bin mir hier eigentlich
> sicher dass man so argumentieren darf, nur leider ist das
> dann immernoch nicht die gesuchte Abbidung, d.h. wie stelle
> ich mein Ergebnis formal dar?
surjektiv: Jeder ganzen Zahl z wird eine nichtnegative Zahl q zugeordnet, wobei auch zwei verschiedene z das gleiche q erhalten dürfen.
Es genügt also, der (ganzen) Null die (rationale) Null zuzuordnen,
jeder natürlichen Zahl einen Bruch zuzuordnen und der betragsgleichen negativen Zahl jeweils den gleichen Bruch zuzuordnen.
Gruß Abakus
>
> Ansatz zu Aufg 3.
> Diagonalisierung (
> http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument
> )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Sa 07.11.2009 | | Autor: | dayscott |
hi abakus,
> jeder natürlichen Zahl einen Bruch zuzuordnen und der betragsgleichen > negativen Zahl jeweils den gleichen Bruch zuzuordnen.
> "jeder natürlichen Zahl einen Bruch zuzuordnen "
wie mache ich das formal ? (Grundgedanke wäre ja hierzu Diagonalisierung..)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Sa 07.11.2009 | | Autor: | abakus |
> hi abakus,
>
> > jeder natürlichen Zahl einen Bruch zuzuordnen und der
> betragsgleichen > negativen Zahl jeweils den gleichen Bruch
> zuzuordnen.
>
> > "jeder natürlichen Zahl einen Bruch zuzuordnen "
>
> wie mache ich das formal ? (Grundgedanke wäre ja hierzu
> Diagonalisierung..)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Mache eine Tabelle, am oberen Rand steht 1 2 3 4 5 ... (die Zähler),
und am linken Rand steht
1
2
3
... (die Nenner).
Jede Tabellenzelle wird durch das Paar (Zähler,Nenner) gebildet. Jetzt kannst du diagonalisieren.
Zwar ist jede gebrochene Zahl mehrfach vertreten (1/2 = 2/4 = 3/6 ...), aber bei Surjektivität dürfen verschiedene n das gleiche q bekommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 09.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument#Vorgehen_bei_Cantors_erstem_Diagonalargument