Abbildung von Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei B eine Menge, sei A eine endliche Menge und sei k := |A|. Zeigen Sie, dass es eine bijektive Funktion von Abb(A,B) nach [mm] B^{k} [/mm] gibt. |
Abb(A,B) ist die Menge aller Abbildungen von A nach B.
Sei A = [mm] \left\{a_{1},a_{2},...,a_{k}\right\}
[/mm]
Wenn ich zeigen kann, dass |Abb(A,B)| = [mm] |B^{k}| [/mm] dann gibt es eine Bijektion von Abb(A, B) nach [mm] B^{k}
[/mm]
Mein Problem besteht jetzt darin, genau das zu zeigen. Wenn B endlich ist ist es kein Problem, wenn B unendlich aber abzählbar ist, sollte das auch kein Problem sein, weil man die Elemente von B einfach auflisten kann, per Diagonalisierung zB. Aber wenn B [mm] \subseteq \IR [/mm] ist, dann ist es unendlich und überabzählbar und ich weiss nicht, wie ich das dann zeigen soll ... vlt könnte mir jemand einen Tip geben.
|
|
| |
|
> Sei B eine Menge, sei A eine endliche Menge und sei k :=
> |A|. Zeigen Sie, dass es eine bijektive Funktion von
> Abb(A,B) nach [mm]B^{k}[/mm] gibt.
> Abb(A,B) ist die Menge aller Abbildungen von A nach B.
>
> Sei A = [mm]\left\{a_{1},a_{2},...,a_{k}\right\}[/mm]
>
> Wenn ich zeigen kann, dass |Abb(A,B)| = [mm]|B^{k}|[/mm] dann gibt
> es eine Bijektion von Abb(A, B) nach [mm]B^{k}[/mm]
Hallo,
ich würde doch lieber die Bijektion angeben.
Du suchst eine bijektive Abbildung [mm] \Phi, [/mm] welche jedem [mm] f\in [/mm] Abb(A, B) ein k-Tupel mit Eintragen aus B zuordnet.
Nun weise [mm] \Phi [/mm] (f) doch einfach das Tupel zu, welches die Funktionswerte an den Stellen [mm] a_1, ...a_k [/mm] enthält.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Ich hoffe DU verzeihst, aber diesmal verstehe ich nicht, was Du meinst.
Könntest Du das noch mal anders erklären, bitte?
|
|
|
| |
|
Du suchst eine bijektive Abbildung [mm] \phi [/mm] : Abb(A,B) [mm] \to B^k,
[/mm]
und ich lege Dir nahe, [mm] \phi [/mm] wie folgt zu definieren:
[mm] \phi (f):=\vektor{f(a_1) \\f(a_2)\\...\\ f(a_k)} [/mm] für alle [mm] f\in [/mm] Abb(A,B).
Danach weise die Bijektivität nach.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Okay, ich hab mich heute morgen (mangels Zeit, erst heute morgen) mal damit auseinander gesetzt. Ich habe verstanden, was Du meinst. Die Injektivität war auch nicht schwer, aber im moment hänge ich bei der Surjektivität.
Zur Injektivität: Sei die Funktion [mm] \phi (f):=\vektor{f(a_1) \\f(a_2)\\...\\ f(a_k)} [/mm] so wie Du sie definiert hast. Und seien [mm] f_{1}, f_{2}\in [/mm] Abb(A,B) mit
[mm] \phi(f_{1}) [/mm] = [mm] \phi(f_{2}) \Rightarrow \vektor{f_{1}(a_1) \\f_{1}(a_2)\\...\\ f_{1}(a_k)} [/mm] = [mm] \vektor{f_{2}(a_1) \\f_{2}(a_2)\\...\\ f_{2}(a_k)} \Rightarrow f_{1} [/mm] = [mm] f_{2} \Rightarrow \phi [/mm] ist injektiv
Zur Surjektivität: Surjektivität heisst ja, dass alle Elemente in [mm] B^{k} [/mm] "getroffen werden. Das muss also gezeigt werden.
Ich dachte mir, ich sage: Für alle X [mm] \in B^{k} [/mm] gibt es ein f [mm] \in [/mm] Abb(A,B) sodass [mm] \phi(f) [/mm] = X jetzt muss ich nur noch ein f finden, dass das erfüllt, oder?
|
|
|
| |
|
>
> Ich dachte mir, ich sage: Für alle X [mm]\in B^{k}[/mm] gibt es ein
> f [mm]\in[/mm] Abb(A,B) sodass [mm]\phi(f)[/mm] = X jetzt muss ich nur noch
> ein f finden, dass das erfüllt, oder?
Ja.
Definier halt eine Funktion, die paßt und betrachte die.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Sei [mm] b\in B^{k} \Rightarrow b=(b_{1},b_{2},...,b_{k}) [/mm] mit [mm] b_{i}\in B\\
[/mm]
Gesucht ist ein [mm] f\in [/mm] Abb(A,B) mit [mm] \phi(f) [/mm] = [mm] (b_{1},b_{2},...,b_{k})\\
[/mm]
Sei [mm] f\in [/mm] Abb(A,B) mit [mm] f_{(a_{i})}=b_{i}\\
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi(f)=(f_{((a_{1})},f_{((a_{2})},...,f_{((a_{k})}) [/mm] = [mm] (b_{1},b_{2},...,b_{k})\\
[/mm]
das müsste doch ausreichen, oder? ist damit schon die Surjektivität gezeigt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Mo 10.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
