Abbildung von M nach N < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:10 Di 09.11.2010 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Welche der folgenden "Zuordnungen" F:M [mm] \rightarrow [/mm] N legen eine Abbildung von M nach N fest?
Seien M und N durch (i), (ii) oder (iii) gegeben und sei [mm]F:M \rightarrow N [/mm] in allen drei Fällen definiert durch [mm]x \rightarrow F(x) := y[/mm], wobei [mm]y \in N [/mm] Lösung der Gleichung [mm]\(y^{2}=x [/mm] sei.
(i) [mm] M:=\IR^{+} [/mm] und [mm] N:=\IR^{+}
[/mm]
(ii) [mm] M:=\IR [/mm] und [mm] N:=\IR^{+}
[/mm]
(iii) [mm] M:=\IR^{+} [/mm] und [mm] N:=\IR [/mm] |
Zur Lösung habe ich erstmal für jede "Zuordnung" die formale Schreibweise (hoffentlich richtig?) aufgestellt:
zu i):
[mm] F:\IR^{+} \rightarrow \IR^{+}\quad \(x \rightarrow \(F(x):= \pm \wurzel{x}
[/mm]
zu ii):
[mm] F:\IR \rightarrow \IR^{+}\quad \(x \rightarrow \(F(x):=\wurzel{x}
[/mm]
zu iii):
[mm] F:\IR^{+} \rightarrow \IR\quad \(x \rightarrow \(F(x):=\wurzel{x}
[/mm]
Meine Ausführungen wären dann zu:
i) Diese Zuordnung stellt keine Abbildung dar, denn es gilt nicht:
[mm] \forall x\in M\ :\ \exists ! y\in N\ mit\ (x,y)\in F [/mm]
Das begründe ich mit [mm]y^{2}=x \rightarrow y=\pm \wurzel {x} [/mm]. Die zeigt ja, dass für ein $x$ nicht genau ein, sondern in diesem Fall genau zwei $F(x)$ zugeordnet werden.
Sollte ich hier begründen warum " [mm] \pm [/mm] " vor der Wurzel steht? Wüsste nicht genau wie ich das formulieren sollte..
Zu (ii):
Diese Zuordnung stellt eine Abbildung da, denn für [mm]\forall x\in M[/mm] kann genau ein [mm]y\in N[/mm] zugeordnet werden.
Sollte ich hier ausführen, wie ich auf diese Aussage komme?
zu (iii):
Auch diese Zuordnung stellt eine Abbildung dar, denn [mm]\IR^{+} \subset \IR[/mm] und [mm]F(x)[/mm] für ein [mm]x\in \IR^{+}[/mm] wird immer ein Element aus [mm] \IR^{+} [/mm] sein. Daraus folgt: [mm] $F(x)\in \IR$
[/mm]
Sollte ich auch hier begründen WARUM F(x) immer Element von [mm] \IR^{+} [/mm] ist?
Sind ja eigentlich recht wesentliche Dinge, die ich hier nicht weiter beschreibe, oder? Aber weiß nicht wie ich so "Details" noch formulieren sollte..
Aber stimmt die "Lösung" so weit? Auch vom Formalen her?
Lieben Dank für eure Hilfe!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 11.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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