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Forum "Topologie und Geometrie" - Abbildung mit Skalarprodukt
Abbildung mit Skalarprodukt < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Abbildung mit Skalarprodukt: geometrische Bedeutung...
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Do 24.04.2008
Autor: sie-nuss

Aufgabe
Was bedeutet die Abbildung [mm] f:\IR^n \to \IR^n [/mm] mit [mm] v\mapsto2a-v [/mm] wobei a [mm] \in \IR^n [/mm] mit [mm] \parallel a\parallel=1 [/mm] geometrisch?

Hat f Eigenwerte und wo liegen die Eigenvektoren?  

Hallo Leute,

also wenn a ein Einheitsvektor ist (sagen wir dass die 1 an i-ter Stelle kommt), dann drehen sich alle Vorzeichen vom Vektor v um, außer die i-Koordinate. Im [mm] \IR^2 [/mm] heißt das eine Spiegelung an einer der Achsen, im [mm] \IR^3 [/mm] Spiegelungen an Ebenen. (Soweit ist es doch richtig oder?)
Was bedeutet es jetzt für alle n? Und was wenn ich nicht einen Einheitsvektor einsetze? Ich hab das ausprobiert und es kommen sehr krumme Sachen dabei raus...

Achso es gibt wohl 2 Eigenwerte...

Liebe Grüße!
sie-nuss

Bin sehr verwirrt

        
Bezug
Abbildung mit Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:14 Fr 25.04.2008
Autor: angela.h.b.


> Was bedeutet die Abbildung [mm]f:\IR^n \to \IR^n[/mm] mit
> [mm]v\mapsto2a-v[/mm] wobei a [mm]\in \IR^n[/mm] mit [mm]\parallel a\parallel=1[/mm]
> geometrisch?
>  
> Hat f Eigenwerte und wo liegen die Eigenvektoren?
> Hallo Leute,
>
> also wenn a ein Einheitsvektor ist (sagen wir dass die 1 an
> i-ter Stelle kommt), dann drehen sich alle Vorzeichen vom
> Vektor v um, außer die i-Koordinate. Im [mm]\IR^2[/mm] heißt das
> eine Spiegelung an einer der Achsen, im [mm]\IR^3[/mm] Spiegelungen
> an Ebenen. (Soweit ist es doch richtig oder?)
> Was bedeutet es jetzt für alle n? Und was wenn ich nicht
> einen Einheitsvektor einsetze? Ich hab das ausprobiert und
> es kommen sehr krumme Sachen dabei raus...
>
> Achso es gibt wohl 2 Eigenwerte...
>
> Liebe Grüße!
>  sie-nuss

Hallo,

Du hast doch gar nicht so übel angefangen.

Sei doch ein bißchen nett zu Dir und wähle eine Basis, deren erster Basisvektor a ist.
Diese kannst Du durch [mm] v_2,...v_n [/mm] so zu einer Basis des [mm] \IR^n [/mm] ergänzen, daß die [mm] v_i [/mm] senkrecht sind zu a.

Stelle dann die Matrix bzgl dieser Basis auf. Hieran siehst Du alles.

Gruß v. Angela

Bezug
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