Abbildung mit Matrix * Vektor < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | (a) Seien (V,+,*) und (W,+,*) zwei endlich dimensionale R-Vektorräume. Weiter sei {v1,...,vn} eine Basis von V.
Zeigen sie : Es gibt für beliebige w1,...,wn aus W genau eine lineare Abbildung f:V nach W mit f(vi)=wi für i={1,...,n}.
(b) Es seien die Vektoren v1=(0,1,1) v2=(1,1,-1) v3=(1,lambda,0) w1=(1,0,2) w2=(-1,-1,1) w3=(0,-1,3) aus [mm] R^3 [/mm] gegeben.
Bestimmen sie alle lambda aus R, für die es eine lineare Abbildung [mm] f:R^3 [/mm] nach [mm] R^3 [/mm] mit den Eigenschaften f(v1)=w1 f(v2)=w2 f(v3)=w3 gibt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Zusammen,
also zu Aufgabe (a) weiß ich leider nichts.
Aufgabe (b): ich würde mal behaupten, dass das ganze nur mit einer Matrix*Vektor Operation funktioniert. Also kann ich doch eine Matrix 3*3 mit Einträgen a bis i nehmen und an die Vektoren dranpacken. Dann erhalte ich diese 9 Gleichungen:
1) 1=b+c 2) 0=e+f 3) 2=h+i 4) -1=a+b-c 5) -1=d+e-f 6) 1=g+h-i
7) 0=a+lambda*b 8) -1=d+lambda*e 9) 3=g+lambda*h
So jetzt kann ich doch Gleichungen 1 bis 6 nutzen um a,b,d,e,g,h zu bestimmen und damit alle Lambda zu erhalten oder ? Ich hoffe ich bin hier nicht komplett auf dem Holzweg.
|
|
| |
|
Hallo Vairus666,
nur kurz zu a), da ich auf dem Sprung bin ...
> (a) Seien (V,+,*) und (W,+,*) zwei endlich dimensionale
> R-Vektorräume. Weiter sei {v1,...,vn} eine Basis von V.
> Zeigen sie : Es gibt für beliebige w1,...,wn aus W genau
> eine lineare Abbildung f:V nach W mit f(vi)=wi für
> i={1,...,n}.
>
.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Zusammen,
>
> also zu Aufgabe (a) weiß ich leider nichts.
Also [mm]V[/mm] ist nach Vor. n-dimensional.
Für jedes [mm]v\in V[/mm] gibt es eind. best. [mm]\lambda_1,...,\lambda_n\in\IR[/mm] mit [mm]v=\sum\limits_{k=1}^n\lambda_k\cdot{}v_k[/mm]
Warum?
Nun definiere [mm]f:V\to W, v\mapsto f(v):=\sum\limits_{k=1}^n\lambda_k\cdot{}w_k[/mm]
Damit ist schon mal [mm]f(v_i)=w_i[/mm] für [mm]i=1,...,n[/mm]
Nun kommt dein Part:
Zeige, dass [mm]f[/mm] linear ist und dass [mm]f[/mm] eindeutig ist.
Für letzteres nimm an, dass es ein [mm]g:V\to W[/mm] mit denselben Eigenschaften gibt und zeige, dass dann [mm]f=g[/mm] gelten muss.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Sa 14.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
