Abbildung linear? < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ist die ABbilfung L : [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR^{3} [/mm] definiert durch
L(( [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] )) := [mm] \vektor{x_{1}x_{2} \\ x_{1} + x_{2}}
[/mm]
linear? |
Mir ist nicht klar, wann man von linear spricht und auch nicht die mathematische operation, die dahinter steckt.
Es wäre toll, wenn mir jemand sagen könne wie es geht (auch an einem anderen Beispiel)
Vielen dank für die Hilfe und dem Forum bleibe ich nach wie vor treu :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Di 26.01.2010 | | Autor: | Ultio |
So es geht darum die linearität einer Abbildung zu zeigen.
Wie habt ihr lineare Abbildungen definiert?
Hier mal drei Bsp. dann machst du das für deine Abbildung, OK? Und eine Übung habe ich dir auch noch dargeboten.
(i) Aufgabe: [mm] \alpha((x_1,x_2,x_3,x_4)^T) [/mm] = [mm] (x_2,x_3,x_4,x_1)^T
[/mm]
[mm] \alpha:\IR^4 [/mm] --> [mm] \IR^4
[/mm]
[mm] \alpha(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4})= (\vektor{\alpha(x_1+\lambday_1)\\\alpha(x_2+\lambday_2)\\\alpha(x_3+\lambday_3)\\\alpha(x_4+\lambday_4)}) [/mm] = [mm] (\vektor{(x_2+\lambday_2)\\(x_3+\lambday_3)\\(x_4+\lambday_4)\\(x_1+\lambday_1)})=\vektor{x_2\\x_3 \\x_4 \\x_1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{y_2\\y_3 \\y_4 \\y_1}=\alpha(\vektor{x_1\\x_2 \\x_3 \\x_4}) [/mm] + [mm] \lambda \alpha(\vektor{y_1\\y_2 \\y_3 \\y_4})
[/mm]
letzte Kontrolle:
[mm] \alpha((0,0,0,0)^T)=(0,0,0,0),d.h. [/mm] Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet
--> Damit ist diese Abbildung linear!!!
(ii)Aufgabe: [mm] \alpha((x_1,x_2,x_3,x_4)^T) [/mm] = [mm] (x_1,x_2^2,x_3^3,x_4^4)^T
[/mm]
[mm] \alpha:\IR^4 [/mm] --> [mm] \IR^4
[/mm]
[mm] \alpha(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4})=\vektor(x_1+\lambday_1\\ (x_2+\lambday_2)^2\\(x_3+\lambday_3)^3\\(x_4+\lambday_4)^4 [/mm] ) [mm] \not=\vektor(x_1+\lambday_1\\ (x_2^2+\lambday_2^2\\(x_3^3+\lambday_3^3\\(x_4^4+\lambday_4^4 )=\vektor{x_1\\x_2^2 \\x_3^3 \\x_4^4}) [/mm] + [mm] \lambda (\vektor{y_1\\y_2^2 \\y_3^3 \\y_4^4})=\alpha(\vektor{x_1\\x_2 \\x_3 \\x_4}) [/mm] + [mm] \lambda \alpha(\vektor{y_1\\y_2 \\y_3 \\y_4})
[/mm]
man dies auch ausmultiplizieren doch eigentlich ist das schon offensichtlich.
--> Keine lineare Abbildung!!!
(iii)Aufgabe: [mm] \alpha((x_1,x_2)^T)=(x_1, x_1x_2^2+\wurzel{x_1^2 x_2^2 +1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{ x_1x_2^2-\wurzel{x_1^2 x_2^2 +1}})^T
[/mm]
[mm] \alpha:\IR^2 [/mm] --> [mm] \IR^2
[/mm]
Nach genauerer Betrachtung der zweiten Komponente erhält man für [mm] \alpha((x_1,x_2)^T)=(x_1,0)^T
[/mm]
Kannst du ja mal versuchen das zu zeigen, wenn du Lust hast.
[mm] \alpha((0,0)^T)=(0,0)^T
[/mm]
[mm] \alpha(\vektor{x_1+\lambda y_1\\x_2+\lambda y_2}=\vektor{x_1 + \lambda y_1\\0}=\vektor{x_1\\0}+\lambda \vektor{y_1\\0} [/mm] = [mm] \alpha(\vektor{x_1\\x_2})+\lambda \alpha(\vektor{y_1\\y_2})
[/mm]
--> Lineare Abbildung!!!
Versuche Übungshalber diese mal alleine :
Aufgabe: [mm] \alpha((x_1,x_2,x_3,x_4)^T) [/mm] = [mm] (x_1,x_1+x_2,x_1+x_2+x_3,x_1+x_2+x_3+x_4)^T
[/mm]
[mm] \alpha:\IR^4 [/mm] --> [mm] \IR^4
[/mm]
Tip: Mache bei dieser Aufgabe und bei deiner Aufgabe analog zu den Beispielen.
So jetzt solltest du mehr als gewappnet sein für die Aufgabe.
Gruß
Ultio
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