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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Di 15.07.2008 | | Autor: | mueller |
| Aufgabe | Es sei [mm] x=(x,y)^{t}. [/mm] Welche der folgenden Abbildungen von [mm] \IR^{2} [/mm] nach [mm] \IR^{2} [/mm] sind linear:
[mm] f_1:={x-2 \choose 3x}. f_2:={2x+y \choose y-x}
[/mm]
Bestimme im Sinne von Theorem 2.5.5 Matritzen zu den linearen unter den obigen Abbildung. |
Hallo,
ich find ebei dieser Aufgabe keinen Ansatz.
Das Theorem 2.5.5 sagt:
[mm] \phi_A [/mm] (v):=Av für jedes v [mm] \in IR^n,
[/mm]
linear.
Bis jetzt bin ich mit dem Skript ganz gut klargekommen, aber bei dieser Aufgabe werde ich im Skript überhaupt nicht schlau, was ich machen soll bzw. was ich für Informationen bekommen, wenn ich diesen Vektor (ist doch ein Vektor?) in eine Matrix umwandle, kann mir jemand helfen um was es hier geht?
Viele Grüße und danke im Voraus
Ps: wie kann ich ein "kleines" phi darstellen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Di 15.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Die Abb. [mm] f_{1} [/mm] ist nicht linear, denn es ist [mm] f_{1}(0,0) [/mm] = (-2,0) [mm] \not= [/mm] (0,0).
Für [mm] f_{2} [/mm] = gilt:
[mm] f_{2}(x,y) [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -1 & -1 }\vektor{x \\ y}.
[/mm]
Was ist nun wohl die gesuchte Matrix ????
FRED
Korrektur: bei der Matrix habe ich mich vertippt. Richtig ist:
$ [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -1 & 1 } [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Di 15.07.2008 | | Autor: | mueller |
Bedeutet [mm] f_1=(0,0), [/mm] dass Du für x bzw. y 0 eingesetzt hast?
Dann würde ich für [mm] f_2=(0,0) [/mm] erhalten
[mm] \vektor{y \\ -x}
[/mm]
Ist jetzt nur ein Tipp, da ich mir gerade gar nicht sicher bin, was ich hier anwende. :-(
Woher kommt in deiner Matrix die -1 bei [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -1 & -1 } [/mm] (wo vorher das y stand?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Di 15.07.2008 | | Autor: | fred97 |
[mm] f_{2} [/mm] ist linear, [mm] f_{2}(0,0) [/mm] = (0,0)
Bei der matrix habe ich mich tatsächlich vertippt!
Die Matrix lautet richtig:
$ [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -1 & 1 } [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Di 15.07.2008 | | Autor: | mueller |
Wie kommst Du auf diese Matrix, ich dachte erst, Du hast nur die Variablen entfernt, aber Du hast auch noch ein Vorzeichen geändert, kann ich das Irgendwo nachlesen?
Wenn ich jetzt [mm] f_3 [/mm] (x)= [mm] \vektor{x^2 \\ 2y}
[/mm]
Wäre dann [mm] f_3(0,0)= \vektor{x^2 *0 \\ 2y*0} \Rightarrow [/mm] linear oder mach ich mir das Leben zu leicht?
Danke mal wieder
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Di 15.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Rechne doch mal diese Matrix-Vektor-Produkt aus:
$ [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -1 & 1 }\vektor{x \\ y}. [/mm] $
Habt Ihr nicht gelernt, wie so etwas geht ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Di 15.07.2008 | | Autor: | mueller |
Das Matrix-Vektor-Produkt wäre:
[mm] \pmat{ 2x_1 & x_2 \\ -x_1 & x_2 }
[/mm]
Mit der Erklärung von uffisch sollte es dan klar sein Danke 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Di 15.07.2008 | | Autor: | uffisch |
Also mal eine kurze Erklärung zum Verständnis:
Das Theorem das du gefunden hast besagt: Jede lineare Abbildung kann durch
eine Abbildung der Form [mm] phi(\vec{x}) [/mm] = [mm] A*\vec{x} [/mm] dargestellt werden. Sollte
diese Form zu einer Abbildung nicht existieren, habe ich gezeigt, dass die vorliegende Abbildung nicht linear ist. Also schaue ich mir deine zwei Abbildungen halt mal an und Suche eine Matrix die die Bedingung erfüllt:
Ich mache das jetzt nur für den zweiten Fall. Der erste geht Analog. Beim ersten Fall kann man dann aber eine solche Matrix eben nicht bestimmen.
2x+y y-x
Also wenn es eine Matrix A gibt, so dass die Abbildung linear ist, dann muss gelten:
[mm] \vektor{2x+y \\ y-x} [/mm] = [mm] \pmat{ a1 & a2 \\ a3 & a4} [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{ a1*x+a2*y \\ a3*x+a4*y }
[/mm]
Das ist einfach nur Matrixmultiplikation. Und jetzt sieht man doch schon
die Koeffizienten: a1 muss 2 sein, a2 muss 1 sein, a3 muss -1 sein und a4 muss 1 sein.
Damit habe ich eine Matrix gefunden die die Abbildung in der geforderten Form beschreibt -> Die Abbildung ist linear.
Bei der ersten Aufgabe klappt das nicht, da findet man keine solche Matrix, also ist die Abbildung nicht linear.
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