matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Lineare AlgebraAbbildung komplexe Zahlen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Abbildung komplexe Zahlen
Abbildung komplexe Zahlen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Abbildung komplexe Zahlen: Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Mi 26.10.2005
Autor: steffenhst

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,

ich sitze schon den ganzen Tag an zwei Aufgaben, die ich irgendwie nicht raus bekomme (Ich glaube sie sind recht einfach, sorry):

1. Gegeben sei eine Abbildung f: C --> C (wobei C für die komplexen Zahlen steht), def. mit f(z) = z^. z^ist die konjugiert komplexe Zahl zu z.

Ich soll die Injektivität dieser Abbildung zeigen.

Ich beginne so: Sei z,z' [mm] \in [/mm] C und f(z) = f(z'). Folgen muss, dass z = z'.

f(z) = f(z')
z^= z'^
(a+ib)^=(a'+ib')^                   /+ das additive Inverse
0= (a'+ib')^+(-a-ib)^    
0= ((a'+ib')+(-a-ib))^
0=((a'-a)+(b'-b)i)^
0=(a'-a)-(b'-b)i                      /nach Auflösung der Konjugation
0=a'-a-ib'+bi
0=(a'-ib')-(a-bi)

--> ja und da kommt dann nicht z=z' raus. Mach ich irgendwas falsch oder habe ich den falschen Ansatz?

2. Aufgabe

Sei p eine Primzahl. Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente in [mm] (Z/pZ)^{x} [/mm] (also die Einheitengruppe) und in [mm] (Z/p^{2}Z). [/mm]

Allgemein gilt ja, dass die Elemente in [mm] (Z/pZ)^{x} [/mm] für die das ggt = 1. Da p eine Primzahl ist, sind in [mm] (Z/pZ)^{x} [/mm] p-1 Elemente (da p nur durch 1 oder sich selbst teilbar. Da p aber nicht [mm] \in [/mm] Z/pZ ist für alle Elemente das ggt = 1 (bis auf die Null), deshalb p-1. Elemente in [mm] (Z/p^{2}Z)^{x} [/mm] sind p-2 Elemente [mm] \in [/mm] der Einheitsgruppe, da [mm] p^{2} [/mm] ja auch durch p teilbar.

Meine erste Frage ist, ob diese Überlegungen richtig sind und die zweite wäre, wie ich das mathematisch beweise oder herleite. Oder kann ich das in Worten aufschrieben. Ich finde irgendwie keinen Startpunkt.

Danke für die Hilfe



        
Bezug
Abbildung komplexe Zahlen: Aufgabe 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Mi 26.10.2005
Autor: MathePower

Hallo steffenhst,

[willkommenmr]

> ich sitze schon den ganzen Tag an zwei Aufgaben, die ich
> irgendwie nicht raus bekomme (Ich glaube sie sind recht
> einfach, sorry):
>  
> 1. Gegeben sei eine Abbildung f: C --> C (wobei C für die
> komplexen Zahlen steht), def. mit f(z) = z^. z^ist die
> konjugiert komplexe Zahl zu z.
>  
> Ich soll die Injektivität dieser Abbildung zeigen.
>
> Ich beginne so: Sei z,z' [mm]\in[/mm] C und f(z) = f(z'). Folgen
> muss, dass z = z'.
>  
> f(z) = f(z')
>  z^= z'^
>  (a+ib)^=(a'+ib')^                   /+ das additive
> Inverse
>  0= (a'+ib')^+(-a-ib)^    
> 0= ((a'+ib')+(-a-ib))^
>  0=((a'-a)+(b'-b)i)^
>  0=(a'-a)-(b'-b)i                      /nach Auflösung der
> Konjugation
>  0=a'-a-ib'+bi
>  0=(a'-ib')-(a-bi)
>  
> --> ja und da kommt dann nicht z=z' raus. Mach ich
> irgendwas falsch oder habe ich den falschen Ansatz?
>  

Nein, das ist alles richtig. Damit die Gleichung erfüllt wird, müssen, da a,a',b,b'  [mm]\in\;\IR[/mm],  Realteil und Imaginärteil verschwinden und hieraus folgt a=a', b=b', was z = z' impliziert.

Gruß
MathePower

Bezug
        
Bezug
Abbildung komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Mi 26.10.2005
Autor: steffenhst

Hallo,

danke für die schnelle Antwort. Darauf wäre ich nicht gekommen. (Das bekannte Brett vor dem Kopf). Hast du einen Vorschlag wegen der zweiten Aufgabe. Da finde ich tatsächlich keinen Anfang bzw. weiß nicht weiter.

Allgemein gilt ja für das ggt:

ggt(a,b)

b=a*q+r, da r = 1 (da p eine primzahl) folgt

b-1=a*q.

Aber das ist an sich ja keine Herleitung, denn aus b-1/q=a kann man ja nicht schließen, dass p-1 die Anzahl der Elemente ist.

Grüße Steffen

Bezug
                
Bezug
Abbildung komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:39 Do 27.10.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Wenn du (wie du ja selber sagst) schon weißt (d.h. bewiesen hast, dass [mm] $\overline{a} \in \IZ/m\IZ$ [/mm] genau dann eine Einheit ist, wenn $ggT(a,m)=1$ ist), dann musst du doch wirklich nur noch zählen, und es genügt eine solche Lösung:

[mm] $|(\IZ/p\IZ)^{\times}| [/mm] =  [mm] |\{\overline{x} \in \IZ/p\IZ \, : \, ggT(x,p)=1\}| [/mm] = [mm] |\IZ/p\IZ \setminus \{0\}| [/mm] = p-1$

und

[mm] $|(\IZ/p^2\IZ)^{\times}| [/mm] =  [mm] |\{\overline{x} \in \IZ/p^2\IZ \, : \, ggT(x,p^2)=1\}| [/mm] = [mm] |\IZ/p^2\IZ \setminus \{0,p\}| [/mm] = [mm] p^2-2$. [/mm]

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                        
Bezug
Abbildung komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:35 Do 27.10.2005
Autor: steffenhst

Danke für den Tip,

ich werde es so machen und dann mal abwarten was der Professoer sagt. Hihi, ich gebe dir dann eine Rückmeldung.

Grüße aus Leipzig

Steffen

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]