Abbildung, injektiv, surjektiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo matheraum,
sitze mal wieder hilflos vor einer Übungsaufgabe, ich bekomme einfach nicht den richtigen Durchblick für diese Aufgabe, vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen:
Sei f: M -> N eine Abbildung.
Man erinnere sich an die Definition der Urbildmenge: Ist [mm]V\subset N [/mm] , so setzt man
[mm] f^{-1}(V):=\{x\in M: f(x)\in V\} [/mm] . Durch V -> [mm] f^{-1}(V) [/mm] ist eine Abbildung [mm] \delta(N) [/mm] -> [mm] \delta(M) [/mm] definiert, die wir hier [mm] \lambda [/mm] nennen.
Man zeige:
a) f ist genau dann injektiv, wenn [mm] \lambda [/mm] surjektiv ist.
Man muss also zeigen, dass gilt : f injektiv [mm] \gdw \lambda [/mm] surjektiv
Ehrlichgesagt bin ich etwas verwirrt, ich verstehe was [mm] f^{-1} [/mm] macht und ich verstehe V -> [mm] f^{-1}(V) [/mm] aber was ist nun [mm] \lambda? [/mm] Bzw. was macht [mm] \lambda [/mm] ? Ich bin davon ausgegangen, dass [mm] \lambda= [/mm] V -> [mm] f^{-1}(V).
[/mm]
Und habe es mal mit der "Hinrichtung" probiert:
"->": Wenn f injektiv ist, gibt es zu jedem [mm] x\in [/mm] M genau ein [mm] y\in [/mm] N für das gilt f(x)=y. Für jedes [mm] x\in f^{-1}(V) [/mm] gibt es dadurch genau ein y, für das gilt [mm] f^{-1}(y)=x. [/mm] Dadurch ist jedem [mm] x\in f^{-1}(V) [/mm] mindestens ein [mm] y\in [/mm] V zugeordnet, was bedeutet [mm] \lambda [/mm] ist surjektiv.
Ich bin mir sicher, dass dieser Versuch nicht richtig sein kann, wäre nett wenn mir jemand helfen könnte und die Aufgabe mir etwas besser erklären könnte, ich weiss immernoch nicht was [mm] \lambda [/mm] ist.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Do 03.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Der Beweis ist nicht richtig, das du schon mit dem Begriff der Injektivität nicht richtig umgehst.
So geht es (die Hinrichtung):
Es sei $V [mm] \subset [/mm] M$ beliebig gewählt. Setze $W:=f(V) [mm] \in [/mm] N$.
Dann gilt wegen der Injektivität von $f$:
[mm] $f^{-1}(f(V)) [/mm] = V$,
also:
[mm] $\delta(W) [/mm] = [mm] \delta(f(V)) [/mm] = [mm] f^{-1}(f(V)) [/mm] = V$,
was zu zeigen war.
Versuche die Rückrichtung jetzt mal selber... 
Liebe Grüße
Stefan
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