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Hallo,
zuerst entschuldigung, dass ich immer die selben Fragen poste...
Ich habe ein Problem, Abbildungen anzugeben, die bijektiv sind und in beiden Richtungen stetig.
Also eigentlich hapert es schon an mögliche Abbildungen/Kandidaten angeben. ZB. Wenn man die Sphäre [mm] S^2=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=1\} [/mm] betrachtet.
Ich will jetzt eine Abbildung [mm] f:S^2\backslash \{(a,b,c)\}->S^2 \backslash \{(0,0,-1)\} [/mm] haben, wobei (a,b,c) [mm] \not= [/mm] (0,0,-1) ist.
Wie geht man da vor?
Würde mich über Hilfe freuen.
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:05 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> zuerst entschuldigung, dass ich immer die selben Fragen
> poste...
> Ich habe ein Problem, Abbildungen anzugeben, die bijektiv
> sind und in beiden Richtungen stetig.
> Also eigentlich hapert es schon an mögliche
> Abbildungen/Kandidaten angeben. ZB. Wenn man die Sphäre
> [mm]S^2=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=1\}[/mm]
> betrachtet.
> Ich will jetzt eine Abbildung [mm]f:S^2\backslash \{(a,b,c)\}->S^2 \backslash \{(0,0,-1)\}[/mm]
> haben, wobei (a,b,c) [mm]\not=[/mm] (0,0,-1) ist.
> Wie geht man da vor?
mach's Dir doch mal ein wenig einfacher und überlege, wie es mit einer
Abbildung [mm] $S^1 \setminus \{(x,y)\} \to S^1 \setminus \{(0,\,-1)\}$ [/mm] mit [mm] $(x,\,y) \not=(0,-1)$ [/mm] wäre?
Ich würde sagen, dass man "die Kreislinie so drehen sollte, dass die
Definitionslücke der Ausgangskreislinine auf die der Zielbereichskreislinie
(also der Punkt [mm] $(0,\,-1)$) [/mm] fällt"!
Beispiel: Ist speziell [mm] $(x,\,y)=(1,\,0)\,,$ [/mm] so würde ich
[mm] $f((x_1,x_2)):=(-x_2,\;x_1)\,.$
[/mm]
benutzen, denn:
Sei [mm] $x_1=\cos(\phi),$ $x_2=\sin(\phi)$ [/mm] mit [mm] $\phi \in (0,2\pi)\,.$ [/mm] Dann betrachte
[mm] $x_1':=\cos(\phi+\pi/2)=\cos(\phi)\cos(\pi/2)-\sin(\phi)\sin(\pi/2)=-\sin(\phi)=-\sin(\phi)=-x_2$
[/mm]
und
[mm] $x_2':=\sin(\phi+\pi/2)=\sin(\phi)\cos(\pi/2)+\cos(\phi)\sin(\pi/2)=\cos(\phi)=x_1\,.$
[/mm]
Wenn Du Dir das anschaust, so ist [mm] $f\,$ [/mm] einfach die Drehung des Punktes
[mm] $(x_1,x_2)$ [/mm] um 90° entgegen des Uhrzeigersinns. Du kannst auch schreiben - schlag
den Begriff der Drehmatrix nach:
[mm] $f((x_1,\,x_2))=\pmat{\cos(\pi/2) & -\sin(\pi/2) \\ \sin(\pi/2) & \cos(\pi/2)}*(x_1,\,x_2)^T=\pmat{0 & -1 \\ 1 & 0} [/mm] * [mm] (x_1,\,x_2)^T$
[/mm]
Hier wäre die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $f^{-1}$ [/mm] dann schnell klar. Bei Dir kannst
Du ähnliche Überlegungen anstellen, allerdings kannst Du ja auf mehrere
Arten und Weisen "Kugelpunkte durch Drehungen" aufeinanderbringen.
Stichwort: Eulerwinkel.
Gruß,
Marcel
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