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| Aufgabe | Koordinationsystem: [mm] b_{1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0}, b_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}, b_{3} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1}, [/mm] Vektor: x = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Konstruieren Sie eine lineare Abbildung, die jeden Vektor des [mm] IR^{3} [/mm] an der durch [mm] b_{2}, b_{3} [/mm] aufgespannten Ebene spiegelt. |
Hallo zusammen,
bei dieser Aufgabe weiß ich nicht so recht, was ich tun soll. Natürlich muss etwas mit den b-Vektoren geschehen, um dann später in Teilaufgabe b) x damit zu spiegeln.
Mein naiver Ansatz wäre es die b-Vektoren zu orthonormalisieren, um dann die Formal B [mm] \* S_{A} \* B^{T} [/mm] anzusetzen. [mm] S_{A} [/mm] wäre die allgemeine Spiegelungsmatrix [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1}. [/mm] Das Ergebnis der Formel wäre dann die Spiegelungsmatrix aka lin. Abbildung für diese Aufgabe.
Geht mein Ansatz in die richtige Richtung?
Danke im Voraus.
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> Koordinationsystem: [mm]b_{1}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 0}, b_{2}[/mm] =
> [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}, b_{3}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 1},[/mm]
> Vektor: x = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> Konstruieren Sie eine
> lineare Abbildung, die jeden Vektor des [mm]IR^{3}[/mm] an der durch
> [mm]b_{2}, b_{3}[/mm] aufgespannten Ebene spiegelt.
> Hallo zusammen,
>
> bei dieser Aufgabe weiß ich nicht so recht, was ich tun
> soll. Natürlich muss etwas mit den b-Vektoren geschehen,
> um dann später in Teilaufgabe b) x damit zu spiegeln.
>
> Mein naiver Ansatz wäre es die b-Vektoren zu
> orthonormalisieren, um dann die Formal B [mm]\* S_{A} \* B^{T}[/mm]
> anzusetzen. [mm]S_{A}[/mm] wäre die allgemeine Spiegelungsmatrix
> [mm]\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1}.[/mm] Das Ergebnis
> der Formel wäre dann die Spiegelungsmatrix aka lin.
> Abbildung für diese Aufgabe.
>
> Geht mein Ansatz in die richtige Richtung?
>
> Danke im Voraus.
Hallo Hamu-Sumo ,
mir scheint die Aufgabe nicht klar gestellt zu sein.
Sollen die Vektoren [mm] b_i [/mm] ein (schiefwinkliges) Koordinaten-
system aufspannen ?
Soll dann die Spiegelungsabbildung im Original-
oder im neuen System wirklich eine Spiegelung sein ?
Und was soll der zusätzliche Vektor x ? (Schließlich
ist ja eine Abbildung und nicht bloß das Abbild eines
einzigen Punktes bzw. Vektors gefragt)
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Mo 27.08.2012 | | Autor: | Hamu-Sumo |
Die Aufgabe ist leider nicht präziser.
Der Vektor x ist für die gestellte Aufgabe irrelevant. Wie oben geschrieben soll x in der Teilaufgabe danach durch die erzeugte Matrix gespiegelt werden. Das sollte relativ trivial sein.
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Ich sehe zwei Möglichkeiten, die Aufgabe zu interpretieren:
1.) Die "Spiegelung" bildet einen Vektor
$\ v\ =\ [mm] r*b_1+s*b_2+t*b_3$
[/mm]
auf den Vektor [mm] $\overline{v}\ [/mm] =\ [mm] -r*b_1+s*b_2+t*b_3$ [/mm] ab.
Im üblichen Sinn (bezüglich des ursprünglichen Koor-
dinatensystems) ist dies dann keine orthogonale Spiegelung,
sondern eine Affinspiegelung.
2.) Die Spiegelung ist eine echte (orthogonale) Spiegelung
bezogen auf das ursprüngliche Koordinatensystem.
Man muss sich entscheiden, welche dieser Möglichkeiten
man meint.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Mi 29.08.2012 | | Autor: | Hamu-Sumo |
Hallo,
danke soweit. Besser als nichts.
Vor der Klausur treffe ich meinen Professor nochmal und werde ihn wegen der Aufgabe fragen.
Gruß
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> danke soweit. Besser als nichts.
Naja, meine Antwort war immerhin das Beste, was ich
(und wohl auch jeder andere) dir bei den gegebenen
Angaben anbieten konnte !
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