Abbildung F invertierbar? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Mi 11.01.2006 | | Autor: | mushroom |
| Aufgabe | Es sei F: [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] gegeben durch
F(v) = [mm] \frac{1}{5} \pmat{2 & -1 & -5 \\ -1 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 5}v [/mm]
Ist F invertierbar? Stellen Sie die Umkehrabbildung [mm] F^{-1} [/mm] als Matrixmultiplikation dar, falls F invertierbar ist. |
Hallo,
also meine Idee ist zunächst einmal zu zeigen daß F invertierbar ist. Dazu habe ich von [mm] \pmat{\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} & -1 & \vline & 0 \\ -\frac{1}{5} & \frac{3}{5} & 1 & \vline & 0\\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 1 & \vline & 0} [/mm] mit dem Gaußalgorithmus die Lösungsmenge bestimmt, die ja der Kern von F ist. Ich habe also [mm] \IL [/mm] = [mm] \{ \vec{0} \} [/mm] = Ker F [mm] \Rightarrow \dim [/mm] (Ker F) = 0. Nach der Dimensionsformel ist dann [mm] \dim [/mm] (Bild F) = 3 = rang F. Da nun der Rang gleich der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten ist, ist F invertierbar.
Ist das soweit korrekt? Ich zweifle nämlich ein wenig, ob ich jetzt wirklich die Invertierbarkeit von F gezeigt habe und nicht nur von der Matrix.
Nun habe ich mit meiner Annahme die Umkehrabbildung [mm] F^{-1} [/mm] gebildet. Jedoch habe ich wieder nur mit der Matrix selbst wie oben gearbeitet.
Ich habe also [mm] F^{-1}(v) [/mm] = [mm] \frac{1}{5} \pmat{5 & -5 & 10 \\ 10 & 15 & -5 \\ -5 & -5 & 5}v
[/mm]
Ist jetzt durch den Zusatz "... als Matrixmultiplikation" in der Aufgabenstellung danach gefragt, die inverse Matrix als Multiplikation der Elementarmatrizen darzustellen?
Gruß Markus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Do 12.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Du hast alles richtig gemacht. Schließlich hast du [mm] $F^{-1}$ [/mm] als Matrizenmultiplikation dargestellt.
Und auch sonst argumentierst du richtig: Eine lineare Abbildung ist genau dann invertierbar, wenn die darstellende Matrix bezüglich irgendeiner Basis invertierbar ist, also vollen Rang hat.
Merke dir am besten die Zusammenhänge zwischen einer linearen Abbildung und deren Darstellungsmatrizen.
Du hast hier aber sogar über den Kern von $F$ direkt argumentiert, sehr schön!
Liebe Grüße
Stefan
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