Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Do 03.05.2007 | | Autor: | solero |
| Aufgabe | Die Menge [mm] \IR^\IR [/mm] der Abblidungen f: [mm] \IR \to \IR [/mm] wird mit punktweiser Addition und skalarer Multiplikation zu einem reellen Vektorraum.
Weisen sie explizit die Distributivgesetze nach und geben Sie an, welche Funktion g: [mm] \IR \to \IR [/mm] die Vektorraum-Null darstellt. |
hi,
kann mir bitte jemand hierbei behilflich sein und einen tripp geben wie wie ich diese afg angehen soll?? außerdem wie soll man denn hier d.gesetze auf eine abbildung anwenden und beweisen??!!!! *g*
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Do 03.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
seien f,g Funktionen, dann gilt doch:
a(f(x)+g(x)) IR ist ein Körper, also:
=af(x)+ag(x), also das Distributivgesetzt. So verfährst du dann weiter.
Die Null ist die die Funktion g(x)=0, denn:
(f+0)(x)=f(x)+0=0, da 0 das neutrale Element in IR ist.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
|
|
|
| |
|
Aber wie beweise ich die Distributivgesetze? Es genügt doch nicht einfach hinzuschreiben: a(f(x)+g(x)=af(x)+ag(x)...
|
|
|
| |
|
> Aber wie beweise ich die Distributivgesetze? Es genügt doch
> nicht einfach hinzuschreiben: a(f(x)+g(x)=af(x)+ag(x)...
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Was Du schreibst, genügt nicht ganz, aber es ist ein wesentlicher Bestandteil.
Es ist ja zu zeigen: Für alle a [mm] \in \IR [/mm] und für alle f,g in [mm] \IR^{\IR} [/mm] gilt
a(f+g)=af+ag.
Hier haben wir es also mit der Gleichheit von Funktionen zu tun.
Wann sind Funktionen gleich? Wenn sie an allen Stellen übereinstimmen.
Das werden wir jetzt prufen.
Sei x [mm] \in \IR [/mm] beliebig.
Es ist (a(f+g))(x)=a(f+g)(x)=a(f(x)+g(x))=...
Nun kommt das, was Du schreibst. Warum darf man das? Weil f(x), g(x), a reelle Zahlen sind, wir also die Gesetze fürs Rechnen mit diesen nutzen. Also
...=af(x)+ag(x)=(af)(x)+(ag)(x)=(af+ag)(x)
Es stimmen a(f+g) und (af+ag) an jeder Stelle überein, also sind sie gleich.
Bem:: der Schritt af(x)=(af)(x) erklärt sich aus der Def. für "reelle Zahl mal Funktion"
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Sa 05.05.2007 | | Autor: | solero |
hallo,
ja das ergibt sinn was du geschrieben hast angela. aber ich habe trotzdem noch eine frage. was ist, wenn ich ein die summe zweier funktionen mit einem skalar multiplizieren muss, gehe ich da genauso vor?----> [mm] \forall \lambda \in [/mm] Ik, [mm] \forall [/mm] f, g: [mm] \lambda (f+g)=\lambdaf+\lambdag
[/mm]
|
|
|
| |
|
> hallo,
>
> ja das ergibt sinn was du geschrieben hast angela. aber ich
> habe trotzdem noch eine frage. was ist, wenn ich ein die
> summe zweier funktionen mit einem skalar multiplizieren
> muss, gehe ich da genauso vor?----> [mm]\forall \lambda \in[/mm]
> Ik, [mm]\forall[/mm] f, g: [mm]\lambda (f+g)=\lambda f+\lambda g[/mm]
Ömmm -
das a von neulich WAR ein Skalar!!!!!
Ich schrieb: "für alle a [mm] \in \IR."
[/mm]
Mach's nochmal mit [mm] \lambda.
[/mm]
Das geht wahrscheinlich einfacher - und das meine ich nicht als Witz.
Es ist für den Anfang gut, Skalare deutlich von Vektoren (hier: Funktionen) zu unterscheiden.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Der Beweis hat mir sehr weitergeholfen...danke
Wenn ich jetzt (f(x)*g(x))*a(x)= f(x)* (g(x)*a(x)) habe, wie gehe ich da vor?
= (a (f*g))(x) =a (f*g)(x) = (a*f) (a*g) (x)= af(x)* ag(x)
aber wie geht es dann weiter, so dass ich auf das Ergebnis von oben komme. Es wäre super, wenn du mir nocheinmal helfen könntest.Danke
|
|
|
| |
|
> Der Beweis hat mir sehr weitergeholfen...danke
> Wenn ich jetzt (f(x)*g(x))*a(x)= f(x)* (g(x)*a(x)) habe,
> wie gehe ich da vor?
Hallo,
wenn Du die eingangs von solero gestellte Aufgabe bearbeitest, kommt dieser Fall nicht vor.
Es geht ja um den Vektorraum der rellen Funktionen.
In diesem sind zwei Verknüpfungen erklärt:
die Addition zweier Funktionen
die Multiplikation einer Funktion mit einer reellen Zahl.
Die Multiplikation zweier Funktionen kommt dort nicht vor. Oder was meinst Du mit dem Sternchen? Hast DU einen anderen VR mit anderen Verknüpfungen als mit den üblichen?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Sa 05.05.2007 | | Autor: | solero |
erstmal vielen dank für eure hilfe...!
hab noch eine frage. was ist denn der aufgabenstellung damit gemeint mir "...geben Sie an, welche Funktion g: [mm] \IR \to \IR [/mm] die Vektorraum-Null darstellt"?? muss man da bei g(x) für x einfach null einsetzen??
|
|
|
| |
|
Hallo solero,
der Nullvektor ist hier die Nullfunktion, also die Funktion
[mm] $n:\IR\rightarrow\IR: x\mapsto [/mm] 0$, also $n(x)=0$ [mm] $\forall x\in\IR$
[/mm]
Also die Funktion, die jedes Argument auf Null schickt.
Diese ist das neutrale Element in deinem VR
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 So 06.05.2007 | | Autor: | solero |
eeeemm und was heisst das jetzt bezüglich der distributivgesetze, die man da beweisen muss?? das verstehe ich jetzt nicht so ganz...
|
|
|
| |
|
> eeeemm und was heisst das jetzt bezüglich der
> distributivgesetze, die man da beweisen muss?? das verstehe
> ich jetzt nicht so ganz...
Hallo,
ich verstehe Deine Frage überhaupt nicht.
Du hattest nach der VR_Null gefragt, schachuzipus hat geantwortet.
Von distibutiv war eigentlich keine Rede mehr...
Die Distributivität ist doch längst bewiesen.
Das Nullelement brauchst Du, wenn Du die Gruppeneigenschaften der Addition nachweist.
Und dann muß man ja beim Vektorraum auch zeigen, daß [mm] \alpha*Null=Null [/mm] gilt. Wenn Du da nämlich die Zahl 0 nimmst, zeigst Du das falsche. Den Nullvektor muß man nehmen, und das ist schachuzipus Funktion.
HGruß v. Angela
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
|
|
|
|
