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Abbildung: Ausklammern von f
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:33 Do 10.11.2005
Autor: matheauszubildender

Hallo,

ich möchte folgende Aufgabe bearbeiten.

Seien X, Y und Z Mengen
Sei f: X -> Y eine Abbildung. Man zeige
f (A  [mm] \cup [/mm] B) = f(A)  [mm] \cup [/mm] f (B) für alle A, B  [mm] \subseteq [/mm] X


Mein Problem ist, dass ich nicht weiss wie ich an die Aufgabe herangehe. Wie bekomme ich die Klammer aufgelöst? Denn wenn ich jetzt einfach das f "herausziehe", dann habe ich ja gleich meine Lösung und ich denke, dass ich höchstwahrscheinlich mit den Junktoren [mm] \vee \wedge \neg [/mm] beweisen soll...


Viele Grüße
Mathe-Azubi


        
Bezug
Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Do 10.11.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Die löst man am besten dadurch, dass man in die Definitionen einsetzt und dann ein bisschen umformt:

$y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \quad \Leftrightarrow \quad\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup B\, [/mm] : [mm] \, [/mm] f(x)=y [mm] \quad \Leftrightarrow \quad (\exists [/mm] x [mm] \in A\, [/mm] : [mm] \, [/mm] f(x)=y) [mm] \vee (\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \, [/mm] : [mm] \, [/mm] f(x)=y) [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] x [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \vee [/mm] y [mm] \in [/mm] f(B) [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cup [/mm] f(B)$.

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                
Bezug
Abbildung: Danke - Auch richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Do 10.11.2005
Autor: matheauszubildender

Hallo Stefan,

herzlichen Dank für deine Anwort.

Ich habe es nun selber an einer ähnlichen Aufgabe versucht. Ist das so richtig?

Seien X, Y, Z Mengen
Sei f: X -> eine Abbildung. Man zeige:
f^-1 (U  [mm] \cap [/mm] V) = f^-1 (U)  [mm] \cap [/mm] f^-1 (V) für alle U, V  [mm] \subseteq [/mm] Y

y [mm] \in [/mm] f^-1 (U  [mm] \cap [/mm] V)  [mm] \gdw [/mm]

[mm] \exists [/mm] x [mm] \in U\cap [/mm] V: f^-1 (x) = y [mm] \gdw [/mm]
[mm] (\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] U: f^-1 (x) = y)  [mm] \wedge (\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] V: f(x) = y) [mm] \gdw [/mm]
x [mm] \in [/mm] f^-1 (U) [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] f^-1 (V) [mm] \gdw [/mm]
y [mm] \in [/mm] f^-1 (U) [mm] \cap [/mm] f^-1 (V)


Viele Grüße
Matheauszubildender
Bezug
                        
Bezug
Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:56 Fr 11.11.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Naja, noch nicht ganz, aber gewisse Ansätze sind da... :-)

> Seien X, Y, Z Mengen
>  Sei f: X -> eine Abbildung. Man zeige:

>  f^-1 (U  [mm]\cap[/mm] V) = f^-1 (U)  [mm]\cap[/mm] f^-1 (V) für alle U, V  
> [mm]\subseteq[/mm] Y
>  
> y [mm]\in[/mm] f^-1 (U  [mm]\cap[/mm] V)  [mm]\gdw[/mm]
>  
> [mm]\exists[/mm] x [mm]\in U\cap[/mm] V: f^-1 (x) = y [mm]\gdw[/mm]

Hier muss es $f(y)=x$ heißen... Denn man weiß nicht, ob nur $y$ im Urbild von $x$ liegt...

>  [mm](\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] U: f^-1 (x) = y)  [mm]\wedge (\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] V:

> f(x) = y) [mm]\gdw[/mm]

Hier das Gleiche...

>  x [mm]\in[/mm] f^-1 (U) [mm]\wedge[/mm] y [mm]\in[/mm] f^-1 (V) [mm]\gdw[/mm]

Warum $x$?

>  y [mm]\in[/mm] f^-1 (U) [mm]\cap[/mm] f^-1 (V)

[ok]

Ich denke mal du siehst die Fehler jetzt selber... :-)

Liebe Grüße
Stefan
  
Bezug
                                
Bezug
Abbildung: Und nun richtig?
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:48 Sa 12.11.2005
Autor: matheauszubildender

Hallo Stefan,

ich hoffe nun habe ich es verstanden.

[mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] V) : f(y) = x [mm] \gdw [/mm]
[mm] (\exists [/mm] y [mm] \in [/mm] U: f (y) = x  [mm] \wedge (\exists [/mm] y [mm] \in [/mm] U: f(y) = x) [mm] \gdw [/mm]
y [mm] \in [/mm] f^-1 (U) [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] f^-1 (v) [mm] \gdw [/mm]
y [mm] \in [/mm] f^-1 (U) [mm] \cap [/mm] f^-1 (V)



Liebe Grüße
Mathe-Azubi
Bezug
                                        
Bezug
Abbildung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:02 Mi 16.11.2005
Autor: Loddar

Hallo Mathe-Azubi!


Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.

Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück [kleeblatt] .


Gruß
Loddar

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