Abbild einer Folge stetig? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Di 07.12.2010 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | Gelten die folgenden zwei Aussagen oder nicht? Begründe (beweise) warum sie gelten oder gib ein Gegenbeispiel an.
(a) [...] habe ich erledigt
(b) Wenn [mm] (b_{n}) [/mm] eine Folge mit [mm] b_{n} \to [/mm] b für n [mm] \to \infty [/mm] und [mm] f(b_{n}) \to [/mm] f(b) für n [mm] \to \infty [/mm] gilt, dann ist f stetig in b. |
Also wie man ja sieht habe ich Aufgabed (a) schon erledigt.
Aber mit Aufgabe (b) hab ich echt meine Schwierigkeiten.
Meine Vermutung ist, dass die Aussage falsch ist, weil die Aussage (a) wahr war. Ist zwar eine ungünstige Herangehensweis, aber macht ja Sinn, da wir ein Gegenbeispiel angeben sollen!
Bei beiden Folgen gilt n [mm] \to \infty! [/mm]
Womit ich nur überhaupt nichts anfangen kann ist:"... dann ist f stetig in b!" Ist b jetzt einfach nur eine andere Variable für x oder ist b eine "Zahl, die ich einsetzen kannn"?
Kann ich denn Stetigkeit einer Funktion mit Stetigkeit einer Folge vergleichen? Gehört die Funktion nicht auch zur Folge?
Wie ist hier mein Lösungsansatz?
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Huhu,
für die b) benötigst du den Begriff der Folgenstetigkeit.
Wie ist die denn Definiert?
Was ist der Unterschied zu der Aussage b) und der Definition von Folgenstetigkeit?
Die a) trotzdem zu posten, wäre vllt. sinnvoll gewesen, wenn die Aufgaben zusammenhängen.
Und als Tip für b): Schau dir mal die konstante Folge bei einer in b unstetigen Funktion an.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Di 07.12.2010 | | Autor: | lexjou |
Hallo, erstmal Danke für Deine Antwort.
Also ich denke eher nicht, dass die Aufgaben im Zusammenhang stehen!
Die Folge heißt nur [mm] "(b_{n})" [/mm] weil es im Aufgabenteil (b) steht! Aufgabe (a) konnte ich auch relativ einfach mit Konvergenzbeweis lösen!
Nun zu Deinem Tipp: unter Folgenstetigkeit finde ich weder bei Wikipedia etwas, noch auf dem ISIS Portal der Uni; auch nicht in dem Mathe-Übungsportal! Könntest Du mir vielleicht kurz erläutern, um was es geht oder nur kurz eine allgemeine Definition geben? Oder ein Tipp oder sonst was? Das wäre super! Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Di 07.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, erstmal Danke für Deine Antwort.
>
> Also ich denke eher nicht, dass die Aufgaben im
> Zusammenhang stehen!
> Die Folge heißt nur [mm]"(b_{n})"[/mm] weil es im Aufgabenteil (b)
> steht! Aufgabe (a) konnte ich auch relativ einfach mit
> Konvergenzbeweis lösen!
>
> Nun zu Deinem Tipp: unter Folgenstetigkeit finde ich weder
> bei Wikipedia etwas, noch auf dem ISIS Portal der Uni; auch
> nicht in dem Mathe-Übungsportal! Könntest Du mir
> vielleicht kurz erläutern, um was es geht oder nur kurz
> eine allgemeine Definition geben? Oder ein Tipp oder sonst
> was? Das wäre super! Vielen Dank!
naja, man sagt (bei einer Funktion [mm] $f\,$ [/mm] zwischen metrischen Räumen [mm] $(X,d)\,$ [/mm] und [mm] $(Y,e)\,$), [/mm] dass [mm] $f\,$ [/mm] genau dann Folgen-stetig in [mm] $x_0 \in [/mm] X$ ist, wenn für jede Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] aus [mm] $X\,,$ [/mm] die [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] erfüllt, auch [mm] $f(x_n) \to f(x_0)$ [/mm] folgt. (Wobei [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] im Sinne von [mm] $d(x_n,\,x_0) \to [/mm] 0$ und [mm] $f(x_n) \to f(x_0)$ [/mm] im Sinne von [mm] $e(f(x_n),\,f(x_0)) \to [/mm] 0$ aufzufassen ist - beachte dabei: [mm] $(d(x_n,\,x_0))_n$ [/mm] und [mm] $(e(f(x_n),\,f(x_0))_n$ [/mm] sind Folgen in [mm] $\IR$).
[/mm]
(Und [mm] $f\,$ [/mm] heißt dann Folgen-stetig, wenn [mm] $f\,$ [/mm] Folgen-stetig in allen $x [mm] \in [/mm] X$ ist!)
Du siehst schon, dass hier nicht nur von der Existenz einer Folge mit einer gewissen Eigenschaft etwas gefordert wird - sondern dass von "allen Folgen mit einer gewissen Eigenschaft" eine weitere gefordert wird.
Man kann zeigen (sehr einfach), sofern z.B. [mm] $f\,$ [/mm] eine Funktion zwischen metrischen Räumen ist:
Die [mm] $\epsilon-\delta-x_0$ [/mm] Stetigkeit-Definition einer Funktion [mm] $f\,$ [/mm] (an einer Stelle [mm] $x_0$) [/mm] ist äquivalent mit der Folgen-Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an dieser Stelle (![[]](/images/popup.gif) Satz 10.7). Sinnvoll dabei ist es auch, sich mal Gedanken zu machen, ob die betrachtete Stelle Häufungspunkt ist oder nicht (ist sie keine, so ist die Folgen-Stetigkeit an der betrachteten Stelle klar, da es keine Folge gibt, für die überhaupt etwas zu prüfen wäre - die Stetigkeit ist auch klar, da die Stelle dann ein isolierter Punkt ist). Dann erkennst Du auch, warum im Satz 10.7 auch nochmal eine weitere Charakterisierung der Stetigkeit steht...
Dass die Formulierung in Deiner Aufgabe b) nicht die obige Definition der Folgenstetigkeit ersetzen kann (d.h. keine dazu äquivalente Formulierung ist), erkennst Du an einem einfachen Beispiel:
Betrachte [mm] $f(x):=\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,$, [/mm] für $x [mm] \not=0$ [/mm] und an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] definieren wir [mm] $f(0):=0\,,$ [/mm] so dass [mm] $D_f=\IR$ [/mm] ist.
Die Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] definiert durch [mm] $x_n:=\frac{1}{n*\pi}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] ist eine Nullfolge, die [mm] $f(x_n)=0 \to [/mm] 0$ erfüllt. [mm] $f\,$ [/mm] ist aber nicht stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] (ein "Folgen-Stetigkeitsargument" erhält man durch Betrachtung von [mm] $y_n:=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n*\pi}\,,$ [/mm] weil dann [mm] $|f(y_n)|=1 \not\to 0=f(0)\,,$ [/mm] und ein [mm] $\epsilon-\delta-x_0$-Argument [/mm] kann man sich auch mit den obigen [mm] $y_n$ [/mm] basteln, weil für jedes [mm] $\delta [/mm] > 0$ ein (genügend großes) [mm] $N\,$ [/mm] so existiert, dass [mm] $|y_N-0|=|y_N| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] - und dann ist aber [mm] $|f(y_n)-f(0)|=??? [/mm] > ???$ [mm] ($\leftarrow$ Fragezeichen bitte sinnvoll ergänzen)).
Gruß,
Marcel
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Mi 08.12.2010 | | Autor: | lexjou |
Hallo Marcel,
vielen Dank für Deine Antwort!
Mein erster Gedanke war: oh mein Gott!
Natürlich nicht negativ Dir gegenüber ;) ist ja klar!
Ich seh überhaupt nicht mehr durch. Aber es liegt wahrscheinlich daran dass ich seit 21 Stunden Mathe mache und schon die Buchstaben und Zahlen verschwommen sehe.
Ersetze ich die Fragezeichen mit [mm] "|f(y_{n})|>\delta?
[/mm]
Also ganz ehrlich: ich weiß nicht was das große N darstellen soll! Damit hatte ich gestern schon Probleme! Ich blick da grad gar nicht durch! liegt vielleicht auch am wenigen Schlaf... aber ist auch überhaupt nicht mein Thema! Andere Themen in Mathe: kein Ding. Aber das hier... ein großes ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenigstens das Beispiel mir sin(1/x) solltest du doch bestehen. du kannst [mm] x_n [/mm] natürlich auch [mm] b_n [/mm] nennen [mm] sin(1/b_N)=0 [/mm] für [mm] b_n [/mm] gegen 0 mit [mm] b_n=1/n*\p [/mm] und per def war f(0)=0 aber die fkt ist nicht stetig.
was ist daran unverständlich?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank für Deine Antwort!
> Mein erster Gedanke war: oh mein Gott!
>
> Natürlich nicht negativ Dir gegenüber ;) ist ja klar!
>
> Ich seh überhaupt nicht mehr durch. Aber es liegt
> wahrscheinlich daran dass ich seit 21 Stunden Mathe mache
> und schon die Buchstaben und Zahlen verschwommen sehe.
> Ersetze ich die Fragezeichen mit [mm]"|f(y_{n})|>\delta?[/mm]
nein. Das [mm] $\delta$ [/mm] "bestimmt" doch eine Umgebung eines Punktes im Definitionsbereich - genauer: Hier war [mm] $x_0=0$ [/mm] und mit [mm] $\delta$ [/mm] gibt man ein Intervall um [mm] $x_0$ [/mm] an: [mm] $]x_0-\delta,\;x_0+\delta[\,.$
[/mm]
> Also ganz ehrlich: ich weiß nicht was das große N
> darstellen soll! Damit hatte ich gestern schon Probleme!
Das [mm] $N\,$ [/mm] ist ein Index einer Folge, der "mit Bedacht" gewählt wurde - also kurz: erst mal eine natürliche Zahl, die so gefunden wird, dass ein entsprechendes Folgenglied in irgendeiner Weise sozusagen "ausgezeichnet" ist (siehe unten: bei uns wird [mm] $N\,$ [/mm] so benutzt, dass [mm] "$y_N$ $\delta$-nahe [/mm] an [mm] $x_0=0$" [/mm] liegt).
Hier gab es die Folgen [mm] $(x_n)_n$ [/mm] oder [mm] $(y_n)_n\;$ [/mm] - zur Erinnerung: Eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in $X$ steht eigentlich für nichts anderes als eine Abbildung der natürlichen Zahlen in den Raum [mm] $X\,,$ [/mm] d.h. $x: [mm] \IN \to [/mm] X$ mit [mm] $x_n:=x(n)$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
> Ich blick da grad gar nicht durch! liegt vielleicht auch am
> wenigen Schlaf... aber ist auch überhaupt nicht mein
> Thema! Andere Themen in Mathe: kein Ding. Aber das hier...
> ein großes ?
Es ist gar nicht so schwer. Mach' Dir mal eine Skizze:
Plotte [mm] $f(x)=\sin(1/x)$ [/mm] ($x [mm] \not=0$) [/mm] mit [mm] $f(0):=0\,,$ [/mm] genauer also:
Plotte den Graphen von [mm] $f\,$.
[/mm]
Jetzt berechne mal
[mm] $$f(x_n)$$
[/mm]
und
[mm] $$f(y_n)\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $x_n$ [/mm] und [mm] $y_n$ [/mm] wie oben definiert sind - und zwar erst mal formal.
(Erinnerung:
> Die Folge $ [mm] (x_n)_n [/mm] $ definiert durch $ [mm] x_n:=\frac{1}{n\cdot{}\pi} [/mm] $ ($ n [mm] \in \IN [/mm] $)
> ist eine Nullfolge, die $ [mm] f(x_n)=0 \to [/mm] 0 $ erfüllt. $ [mm] f\, [/mm] $ ist aber nicht stetig
> in $ [mm] x_0=0 [/mm] $ (ein "Folgen-Stetigkeitsargument" erhält man durch
> Betrachtung von $ [mm] y_n:=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n\cdot{}\pi}\,, [/mm] $ weil
> dann $ [mm] |f(y_n)|=1 \not\to 0=f(0)\,, [/mm] $ und ein $ [mm] \epsilon-\delta-x_0$
[/mm]
> -Argument kann man sich auch mit den obigen $ [mm] y_n [/mm] $ basteln, weil für
> jedes $ [mm] \delta [/mm] > 0 $ ein (genügend großes) $ [mm] N\, [/mm] $ so existiert, #
> dass $ [mm] |y_N-0|=|y_N| [/mm] < [mm] \delta [/mm] $ -
> und dann ist aber $ [mm] |f(y_n)-f(0)|=??? [/mm] > ??? $ ($ [mm] \leftarrow $
> Fragezeichen bitte sinnvoll ergänzen)).
)
Wenn Du das (formal) machst, und um dann zu konkreten Werten zu kommen:
Beachte, dass $\sin(\pi/2)=1\,,$ $\sin(\pi/2\;+\pi)=-1\,,$ $\sin(\pi)=\sin(2\pi)=0$ und der $\sin(\cdot)$ eine $2\pi$-periodische Funktion ist.
Solltest Du da schon durcheinanderkommen:
Berechne mal für die ersten $n=1,2,3,4,5,6$:
a) $x_1,\ldots,x_6$
b) $y_1,\,\ldots,y_6$
und weil $x \mapsto \sin(1/x)$ betrachtet wird, dann logischerweise auch
a') $1/x_1,\;\ldots,\;1/x_6$
b') $1/y_1,\;\ldots,\;1/y_6$
Bei letzteren Werten sollte das ganze so berechnet werden, dass man "$\pi$" noch sieht. Jetzt mache Dir klar, was
$$\sin(1/x_1)\,, \sin(1/x_2),\;...$$
und
$$\sin(1/y_1)\,, \sin(1/y_2),\;...$$
ist.
Weiter:
Schau' Dir mal die $x_n$ (und auch die $y_n$) auf der $x\,$-Achse an. Daran erkennt man, dass das Nullfolgen sind (genaugenommen sind es sogar [b]streng monoton fallende[/b] Nullfolgen - aber uns reicht hier die Nullfolgeneigenschaft - also Konvergenz gegen $0\,$).
Was machen denn nun die Folgen $(f(x_n))_n$ und $(f(y_n))_n$?
Wenn Du das verstanden hast, dann solltest Du verstehen (und auch "sehen"):
Egal, welche $\delta$-Umgebung ich um $x_0=0$ lege, stets finde ich dort ein Folgenglied der Folge $(y_n)_n\,,$ so dass dieses in dieser $\delta$-Umgebung liegt (das gilt, weil $y_n \to x_0=0$). Ich picke eines heraus und stelle fest, dass es den Index $N\,$ trage - der von $\delta$ abhängig sein darf und es i.a. auch sein wird: $N=N(\delta)$ (beachte: weil $(y_n)_n$ streng monoton fallend, finde ich sogar einen eindeutigen Index (die Abbildung $y: \IN \to \IR$ ist dann injektiv) - andernfalls würde ich halt wissen, dass der Wert von der Folge mehrfach angenommen wird und dann würde ich einen dieser Indizes dann auswählen).
Dann gilt aber
$$(\star)\;\;\;|f(y_N)-f(0)|=1\,.$$
Daraus folgt:
Zu jedem $0 < \epsilon < 1$ kann es kein $\delta > 0$ geben, so dass $|f(y)-f(0)| \le \epsilon$ für ALLE $|y-0|=|y| < \delta$ gilt - siehe ($\star$), wobei zu beachten ist, dass man $y_N\,$ ja mit $N=N(\delta)$ auch so gefunden hat, dass $y_N$ "$\delta$-nahe" an $x_0=0\,$ liegt. Wenn man nun die Verneinung der $\epsilon-\delta-x_0$ Stetigkeit ausschreibt, so sieht man:
"... ist genau dann nicht stetig in $x_0\,,$ wenn ein $\epsilon_0 > 0$ so existiert, dass für alle $\delta > 0\,$ ein $y=y_\delta$ mit $d(y,x_0) < \delta$ so existiert, dass $e(f(x_0),f(y)) > \epsilon_0\,.$ "
Wir haben oben gezeigt, dass "etwas wie im letztstehenden Satz" für alle $0 < \epsilon < 1$ gilt - also z.B. mit $\epsilon_0:=1/2$ ist ein "Stetigkeit-verneinendes $\epsilon_0$" (bzgl. der Stelle $x_0=0$) gefunden.
P.S.:
Ruhig mal alles einfach sacken lassen und vll. später nochmal drüber nachdenken. Vor allem:
Versuch' Dir das ganze mal anschaulisch an dem geplotteten Graphen klarzumachen - das fördert Dein Verständnis sicher um einiges - und das, was Du bei den $\sin(1/x_n)$ etc. dann "siehst", wird dann vielleicht auch klarer. Sicher auch, wie das ganze dann formal zustandekommt - sofern Du drüber nachdenkst, was der Sinus eigentlich für Nullstellen und Extremstellen hat und wie das dann bei $\sin(1/x)$ "formal eingeht".
Gruß,
Marcel
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:13 Do 09.12.2010 | | Autor: | lexjou |
Hallo Marcel,
DANKE!
Endlich mal einer der nicht von oben herab antwortet und mir zu verstehen gibt, dass ich zu dumm für sowas "Einfaches" bin!
Anscheinend verstehen einige hier nicht, dass nicht jeder Mensch gleich ist und nicht jeder alles sofort verstehen muss etc.
Ich hab schon manchmal gar keine Lust mehr überhaupt eine Frage zu posten, weil ich mir denke: ach nee! Dann steht da wieder sowas wie: das ist doch jetzt verständlich genug... oder so!
Wäre es gleich so erklärt worden wie Du es jetzt getan hast, hätte ich auch nicht weiter gefragt ;)
Und dass die Erstsemester mit dem Zeitdruck der Mathehausaufgaben anfangs immer Schwierigkeiten haben "dürfte doch jetzt verständlich sein" ;) :)
Was mich irritiert hat ist, dass es bei dem einen [mm] \delta [/mm] heißt, der Nächste schreibt was Anderes etc. Und wenn man mit Fachbegriffen in der Antwort nur so um sich schmeißt, obwohl man eine ganz simple Frage gestellt hat, dann ist es doch klar, dass ich mir dann denke: Was soll das?
Also ist quasi der sin(1/x) mein Gegenbeispiel dass die Funktion nicht stetig ist!? Hab zwar ein zwei Sachen immer noch nicht verstanden, aber ich guck mal...
Aber dieser Verweis auf Satz 10.7.... also das war ja wohl der Hammer! Danach hab ich die Hausaufgaben beiseite gelgegt und mir gedacht: Nein!
Was soll ich denn damit anfangen? Wieso plötzlich [mm] e(f(x_0),f(y)) [/mm] > [mm] \epsilon_0\ [/mm] und wieso [mm] \epsilon-\delta-x_0 [/mm] ...? warum ist das plötzlich so kompliziert??
Warum nehme ich plötzlich "N", anstatt "n", bzw. warum plötzlich beides? Warum brauch ich auf einmal für alles eine Nullfolge als "Hilfestellung? Das sind alles so Dinge... Und dann liest man "Satz 10.7" und ist bedient!
Also ich VERSUCHE es jetzt! oh man...
Aber Danke Marcel! Deine Antwort war sehr hilfreich!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Do 09.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lexjou,
> Hallo Marcel,
>
> DANKE!
>
> Endlich mal einer der nicht von oben herab antwortet und
> mir zu verstehen gibt, dass ich zu dumm für sowas
> "Einfaches" bin!
ich glaube nicht, dass das beabsichtigt ist. Du musst auch bedenken, dass Leute, die Dir hier antworten, sich schon sehr oft mit diesen Themen auseinandergesetzt haben und auch schon öfters das ganze mal erklärt haben. Leider macht man oft auch die Erfahrung, dass nicht jeder wirklich an einem Verständnis interessiert ist, sondern einfach nur "eine Musterlösung auswendig lernen möchte". Oder das Desinteresse signalisiert wird, weil manch' einer sich halt nicht wirklich freiwillig mit den Sachen auseinandersetzen möchte. Es ist nicht ganz einfach, zu differenzieren, wer sich wirklich Mühe gibt und einfach nur "gerade mal nicht mitkommt", oder wer interessiert tut, sich aber eigentlich nicht wirklich um Verständnis bemühen will. Ich hatte bei Dir allerdings durchaus den Eindruck, dass Du, wenn man Dir die Begriffe "ein wenig anschaulicher macht", dass auch durcharbeiten wirst und es verstehen willst.
> Anscheinend verstehen einige hier nicht, dass nicht jeder
> Mensch gleich ist und nicht jeder alles sofort verstehen
> muss etc.
>
> Ich hab schon manchmal gar keine Lust mehr überhaupt eine
> Frage zu posten, weil ich mir denke: ach nee! Dann steht da
> wieder sowas wie: das ist doch jetzt verständlich genug...
> oder so!
Lass' Dich nicht abschrecken, sondern frag' einfach. Wie verständlich etwas ist, hängt ja auch von den Gesprächspartnern ab. Wenn ich allerdings nichts neues sagen könnte oder Dir das ganze nicht nochmal mit anderen Worten erklären könnte, würde ich es auch so formulieren und sagen, dass ich gerade nicht weiß, wie ich Dir das besser erklären kann, und ich mich nur wiederholen würde.
> Wäre es gleich so erklärt worden wie Du es jetzt getan
> hast, hätte ich auch nicht weiter gefragt ;)
>
> Und dass die Erstsemester mit dem Zeitdruck der
> Mathehausaufgaben anfangs immer Schwierigkeiten haben
> "dürfte doch jetzt verständlich sein" ;) :)
>
> Was mich irritiert hat ist, dass es bei dem einen [mm]\delta[/mm]
> heißt, der Nächste schreibt was Anderes etc. Und wenn man
> mit Fachbegriffen in der Antwort nur so um sich schmeißt,
> obwohl man eine ganz simple Frage gestellt hat, dann ist es
> doch klar, dass ich mir dann denke: Was soll das?
Okay. Das ist verständlich, läßt sich allerdings nicht ohne weiteres vermeiden:
1. In der Mathematik ist eine präzise Formulierung unerläßlich. Man kann vieles auch motivieren oder auch nochmal "Veranschaulichen", allerdings ist das dann quasi schon etwas, wo man das, was man "in der Theorie erkannt hat", nochmal visualisiert. Das bedeutet nicht, dass diese Visualisierungen fehl am Platze wären und nicht auch auf neue Ideen in der Theorie führen können. Nur muss man sich klarmachen, dass die Mathematik eigentlich nur das benutzt, was sich aus bekanntem oder Axiomen herleiten läßt.
Aber auch dazu:
Keine Sorge. Zum einen wirst Du Dich ein wenig an den Symbolismus gewöhnen (auch, wenn Du das jetzt noch nicht glaubst: Warte mal ein oder zwei Semester, dann wirst Du es bemerken, wenn Du zurückblickst). Zum anderen wirst Du (vielleicht auch durch "Anschauungen" bzw. Visualisierungen, aber generell durch den ständigen Umgang mit den Begriffen) ein Gespühr für die Dinge entwickeln.
2. Wir wissen ja nicht, wie Dein aktuelles "mathematisches Wissen" aussieht. Vielleicht gibt es ja bei Euch auch ein Online-Skript. Dann weiß ich auch, welche Begriffe ich bei Dir benutzen darf und welche eher noch nicht.
> Also ist quasi der sin(1/x) mein Gegenbeispiel dass die
> Funktion nicht stetig ist!?
Sagen wir es mal so:
Die Aussage:
"Wenn [mm] $f(x_n) \to f(x_0)$ [/mm] für eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] gilt"
zeigt noch nicht Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $x_0\,.$ [/mm] Die Funktion [mm] $f(x):=\sin(1/x)$ [/mm] ($x [mm] \not=0$) [/mm] MIT [mm] $f(0):=0\,$ [/mm] ist da ein Gegenbeispiel, weil sie unstetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist.
(Würde man das ganze aber für JEDE Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] fordern, so wäre es eine Stetigkeitscharakterisierung.)
> Hab zwar ein zwei Sachen immer
> noch nicht verstanden, aber ich guck mal...
>
> Aber dieser Verweis auf Satz 10.7.... also das war ja wohl
> der Hammer! Danach hab ich die Hausaufgaben beiseite
> gelgegt und mir gedacht: Nein!
> Was soll ich denn damit anfangen?
Das ist halt das obige Problem. Anscheinend kennst Du den Begriff "metrischer Raum" noch nicht. Es kommt halt drauf an:
Manche Profs führen das ganze erst mal nur für Funktionen mit Definitionsbereich und Zielbereich, die jeweils Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] (oder [mm] $\IC$) [/mm] sind, ein, und sagen: Verallgemeinerung auf metrische Räume ist dann klar: "..."
Andere sagen: "Warum erst mit einem Spezielfall anfangen, wenn wir es allgemein(er) definieren können?"
> Wieso plötzlich
> [mm]e(f(x_0),f(y))[/mm] > [mm]\epsilon_0\[/mm]
Bei Dir kannst Du anstatt [mm] $e(f(x_0),f(y))$ [/mm] einfach [mm] $|f(x_0)-f(y)|$ [/mm] und anstatt $d(y,x)$ auch [mm] $|y-x|\,$ [/mm] schreiben. (Für später: Die metrischen Räume sind hier gleich, und zwar jeweils [mm] $\IR$ [/mm] mit der vom Betrag induzierten Metrik. Aber wie gesagt: SPÄTER MAL!)
> und wieso [mm]\epsilon-\delta-x_0[/mm]
> ...? warum ist das plötzlich so kompliziert??
Das solltest Du aber, sofern Du die [mm] $\epsilon-\delta$-Definition [/mm] kennst, aber wissen. Ich schreibe es lieber als [mm] $\epsilon-\delta-x_0$-Definition, [/mm] denn strenggenommen ist das ganze so zu lesen (bleiben wir bei Funktionen $f: [mm] \IR \superseteq [/mm] M [mm] \to [/mm] N [mm] \subseteq \IR$ [/mm] mit üblicher Abstandsmessung):
Die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] heiß genau dann stetig in [mm] $x_0 \in M\,,$ [/mm] wenn gilt:
Zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\delta=\delta(x_0,\epsilon) [/mm] > 0$ (d.h. das [mm] $\delta$ [/mm] darf und wird i.a. von $epsilon$ und [mm] $x_0$ [/mm] abhängen!), so dass für alle $x [mm] \in [/mm] M$, die [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] erfüllen, dann auch [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] gilt.
> Warum nehme ich plötzlich "N", anstatt "n", bzw. warum
> plötzlich beides?
Das [mm] $N\,$ [/mm] sollte darauf hinweisen, dass es "ein speziell gewähltes" $N$ (bei uns war [mm] $N=N(\delta)$) [/mm] ist - das nach der Wahl "fest" bleibt - also [mm] $y_N$ [/mm] ist dann ein festes Folgenglied. Das ist eigentlich so etwas wie die Unterscheidung zwischen [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $x_0\,$ [/mm] - diese Notationen sind nicht zwingend, aber werden oft in einem solchen Sinne oder ähnlichen Sinne benutzt. Wichtig ist eigentlich, dass man sich irgendwann mal klar macht, was die Rollen sind. Z.B. bedeutet (ohne jetzt zu wissen, was [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $a\,$ [/mm] genau sind)
[mm] $$|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon \;\;\; \text{ für alle }n \ge N\,,$$
[/mm]
dass, egal welchen Index ich aus der Menge [mm] $\{N,\;N+1,\;N+2,\;\ldots\}$ [/mm] nehme, dann der Abstand des entsprechenden Folgeglieds zu [mm] $a\,$ [/mm] stets [mm] $\le \epsilon$ [/mm] sein wird. Und wenn nun irgendwo steht:
Zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N=N(\epsilon)\,,$ [/mm] so dass
[mm] $$|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon \;\;\; \text{ für alle }n \ge N\,,$$
[/mm]
dann ist das entsprechend zu lesen.
Also:
Zu [mm] $\epsilon=1$ [/mm] gibt es dann ein [mm] $N\,,$ [/mm] vielleicht kann man zufälligerweise $N=10,,$ nehmen, so dass
[mm] $$|a_j [/mm] - a | < [mm] 1\,,$$
[/mm]
wenn nur die natürliche Zahl [mm] $j\,$ [/mm] auch $j [mm] \ge [/mm] 10$ erfüllt.
Zu [mm] $\epsilon=1/2$ [/mm] gibt es dann ein [mm] $N\,,$ [/mm] vielleicht kann man zufälligerweise [mm] $N=5\,$ [/mm] nehmen, so dass
[mm] $$|a_j [/mm] - a | < [mm] 1/2\,,$$
[/mm]
wenn nur die natürliche Zahl [mm] $j\,$ [/mm] auch $j [mm] \ge [/mm] 5$ erfüllt.
(Wenn das so wäre, so siehst Du: Bei [mm] $\epsilon=1$ [/mm] hätten wir das [mm] $N\,$ [/mm] dann nicht minimal gewählt.)
Wichtig dabei ist allerdings nur, dass man ein solches $N$ dann (hier in Abhängigkeit von [mm] $\epsilon$) [/mm] angeben kann bzw. dessen Existenz beweisen kann. Es geht nicht darum, ein minimales [mm] $N\,$ [/mm] zu finden.
(Mache Dir mal klar: Wenn es zu [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N(\epsilon)$ [/mm] mit [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gibt, dann kannst Du dieses [mm] $N\,$ [/mm] auch durch jedes größere [mm] $\tilde{N} \ge N\,, \tilde{N} \in \IN$ [/mm] ersetzen!)
> Warum brauch ich auf einmal für alles
> eine Nullfolge als "Hilfestellung? Das sind alles so
> Dinge... Und dann liest man "Satz 10.7" und ist bedient!
Naja, dann sorry dafür. Vielleicht erinnerst Du Dich aber irgendwann ja später mal wieder dran. Wie gesagt:
Es kommt halt auch ein wenig drauf an, wie Dein Kenntnissstand (in der Theorie) ist bzw. welche Begriffe etc. benutzt werden können, oder welche eher noch nicht.
Übrigens:
Heuser, Analysis I ist ein sehr gutes (und dickes, aber leider auch relativ teures) Buch, wo man an derartige Begriffe und Dinge mMn recht "anschaulich" (bzw. "aus der Praxis bekannt") herangeführt wird. Wegen der Dicke muss man dann aber entweder ein wenig "selbstständig herausfiltern (können), was man braucht", oder halt wirklich sehr intensiv damit arbeiten. Sollte der Preis Dir zu heftig erscheinen:
Entweder mal nach gebrauchten Büchern gucken, oder auch mal in die Bibliothek laufen. Und "hineinlinsen" kannst Du auch mal mit google.books.
> Also ich VERSUCHE es jetzt! oh man...
>
> Aber Danke Marcel! Deine Antwort war sehr hilfreich!
Ja gerne. Wie gesagt:
Heuser, V - Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen
Und keine Sorge: Du musst nicht alle Kapitel vorher durchgearbeitet und verstanden haben. Und sollte Dir etwas unverständlich erscheinen:
Du weißt ja, wo Du fragen darfst 
Beste Grüße,
Marcel
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