Abb. linear? zugehörige Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche, welche der folgenden Abbildungen linear sind. Gib im Falle einer linearen Abbildung die zugehörige Matrix an, d.h. eine Matrix A, so dass [mm]$f$ = \tilde a[/mm]
1. [mm]$f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} : (x,y) \mapsto x^2 +y^2 - 1$ [/mm]
4. [mm]$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto e^x$[/mm]
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Hallo,
Zunächst ist ja für die Linearität zu zeigen:
(i)[mm]$f(x+y) = f(x) + f(y)$ \forall x,y \in \mathbb{R}^2[/mm]
(ii)[mm]$f(ax) = a*f(x) \forall a \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}^2$[/mm]
Für Aufgabenteil e) habe ich das denke ich auch hingekriegt:
[mm] $f(x+y) \hat= e^{x+y}$[/mm]
Mit x = 0 gilt:
[mm]$e^{0+y} = e^{y} \not= 1 + e^{y} = e^{0} + e^{y}$[/mm]
=> e) nicht linear.
Bei Aufgabenteil a habe ich das Problem dass ich nicht weiss wie ich die Formel [mm]$f(x+y) = f(x) + f(y)$ \forall x,y \in \mathbb{R}^2[/mm] mit dem Tupel (x,y) verwenden soll.
Desweiteren habe ich aber auch gar keine ahnung wie ich diese zugehörige Matrix bestimmen soll und was das [mm]$\tilde A$[/mm] bedeuten soll
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Mi 16.04.2008 | | Autor: | fred97 |
zu a) (oder 1.?):
es ist f(0,0) ungleich 0, also ist f nicht linear !
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ok... das ist richtig, hätte ich auch sehen sollen...
Das Problem wie ich mit dem Tupel (x,y) und der Formel bei Linearität umgehe habe ich damit aber noch nicht beseitigt, deswegen hier noch eine weitere Aufgabe:
[mm]$f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mapthbb{R}^2 : (x,y) \mapsto (x + 2y, 3x+4y)$[/mm]
Für f(0,0) gilt offensichtlich die Formel.
Darüber hinaus ist mir auch noch nicht klar wie ich im Falle einer Linearen Abbildung die oben genannte Matrix bestimme.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok... das ist richtig, hätte ich auch sehen sollen...
>
> Das Problem wie ich mit dem Tupel (x,y) und der Formel bei
> Linearität umgehe habe ich damit aber noch nicht beseitigt,
> deswegen hier noch eine weitere Aufgabe:
>
> [mm]$f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mapthbb{R}^2 : (x,y) \mapsto (x + 2y, 3x+4y)$[/mm]
>
> Für f(0,0) gilt offensichtlich die Formel.
>
> Darüber hinaus ist mir auch noch nicht klar wie ich im
> Falle einer Linearen Abbildung die oben genannte Matrix
> bestimme.
die obige Abbildung ist offensichtlich linear. Du hast selbst schon gesagt, dass $f((0,0))=f(0,0)=(0,0)$, also kommen wir damit jedenfalls nicht zu einem Widerspruch. Aber natürlich genügt das nicht, damit eine Abbildung linear ist.
(Übrigens: Es gibt auch nichtlineare Abbildungen mit $f(0)=0$. Du kennst auch welche, z.B. $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2$. [/mm] Aber wenn man bei einer Abbildung weiß, dass [mm] $f(0)\not=0$, [/mm] so weiß man, dass diese nicht linear sein kann, weil lineare Abbildungen immer den Nullvektor auf den Nullvektor abbilden. Aber das heißt natürlich nicht, dass eine jede Abbildung, die den Nullvektor auf den Nullvektor abbildet, auch linear ist.)
Du hast nun noch zu zeigen:
Sind [mm] $x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2) \in \IR^2$ [/mm] und ist [mm] $\alpha \in \IR$, [/mm] so gelten:
[mm] $f(x+y)=f((x_1,x_2)+(y_1,y_2))$ [/mm] ist das gleiche wie [mm] $f(x)+f(y)=f((x_1,x_2))+f((y_1,y_2))=f(x_1,x_2)+f(y_1,y_2)$
[/mm]
und
[mm] $f(\alpha*x)=f(\alpha*(x_1,x_2))=f((\alpha x_1,\alpha x_2))=f(\alpha x_1, \alpha x_2)$ [/mm] ist das gleiche wie
[mm] $\alpha f(x)=\alpha f((x_1,x_2))=\alpha f(x_1,x_2)$
[/mm]
Du musst halt einfach beachten, dass man für [mm] $x=(x_1,x_2)$ [/mm] anstelle von [mm] $f(x)=f((x_1,x_2))$ [/mm] halt der Einfachheit halber unnötige Klammern weglässt, also anstelle von dem eigentlich formal korrekten [mm] $f((x_1,x_2))$ [/mm] einfach [mm] $f(x_1,x_2)$ [/mm] schreibt.
Zum Aufstellen der Matrix:
Nimm die Basisvektoren [mm] $e_1:=(1,0)$, $e_2:=(0,1)$ [/mm] des [mm] $\IR^2$ [/mm] und schau', was [mm] $f(e_1)$ [/mm] und [mm] $f(e_2)$ [/mm] ist und guck' nach, was das mit der zu $f$ zugehörigen Matrix zu tun hat (Stichwort: Zeilen!).
Es geht natürlich hier auch einfacher mittels einer einfachen Umformung und "ablesen":
[mm] $(\*)$ $f(x,y)=(x+2y,3x+4y)=x*(1,3)+y*(2,4)=(x,y)*\pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 4 }$
[/mm]
P.S.:
Je nach Vorlesungsstand kann es genügen, nur [mm] $(\*)$ [/mm] zu benutzen, denn daraus folgt hier eigentlich unmittelbar die Linearität von $f$. Aber das hängt, wie gesagt, von Eurem Vorlesungsstand ab...
Gruß,
Marcel
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ok das mit der Matrix hab ich nun verstanden!
Trotzdem ist mir das mit dem Tupel noch nicht klar geworden.
Du hattest ja geschrieben:
Du hast nun noch zu zeigen:
Sind $ [mm] x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2) \in \IR^2 [/mm] $ und ist $ [mm] \alpha \in \IR [/mm] $, so gelten:
[mm]
$ f(x+y)=f((x_1,x_2)+(y_1,y_2)) $ ist das gleiche wie $ f(x)+f(y)=f((x_1,x_2))+f((y_1,y_2))=f(x_1,x_2)+f(y_1,y_2) $
und
$ f(\alpha\cdot{}x)=f(\alpha\cdot{}(x_1,x_2))=f((\alpha x_1,\alpha x_2))=f(\alpha x_1, \alpha x_2) $ ist das gleiche wie
$ \alpha f(x)=\alpha f((x_1,x_2))=\alpha f(x_1,x_2) $
Du musst halt einfach beachten, dass man für $ x=(x_1,x_2) $ anstelle von $ f(x)=f((x_1,x_2)) $ halt der Einfachheit halber unnötige Klammern weglässt, also anstelle von dem eigentlich formal korrekten $ f((x_1,x_2)) $ einfach $ f(x_1,x_2) $ schreibt.
[/mm]
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Das ist mir soweit auch alles klar.
Das Problem ist ich weiss nicht wie ich mit diesen Tupeln dann rechnen soll:
Für die erste Formel hab ich:
[mm] $f( (x_0,y_0) , (x_1,y_1) =( ( (x_0,y_0)+2(x_1,y_1) ) , (3(x_0,y_0) + 4(x_1,y_1) ) )$ [/mm] = ???
So und an dem Schritt häng ich... ich kann da doch nix zusammen rechnen?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok das mit der Matrix hab ich nun verstanden!
>
> Trotzdem ist mir das mit dem Tupel noch nicht klar
> geworden.
>
> Du hattest ja geschrieben:
> Du hast nun noch zu zeigen:
> Sind [mm]x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2) \in \IR^2[/mm] und ist [mm]\alpha \in \IR [/mm],
> so gelten:
>
> [mm]
$ f(x+y)=f((x_1,x_2)+(y_1,y_2)) $ ist das gleiche wie $ f(x)+f(y)=f((x_1,x_2))+f((y_1,y_2))=f(x_1,x_2)+f(y_1,y_2) $
und
$ f(\alpha\cdot{}x)=f(\alpha\cdot{}(x_1,x_2))=f((\alpha x_1,\alpha x_2))=f(\alpha x_1, \alpha x_2) $ ist das gleiche wie
$ \alpha f(x)=\alpha f((x_1,x_2))=\alpha f(x_1,x_2) $
Du musst halt einfach beachten, dass man für $ x=(x_1,x_2) $ anstelle von $ f(x)=f((x_1,x_2)) $ halt der Einfachheit halber unnötige Klammern weglässt, also anstelle von dem eigentlich formal korrekten $ f((x_1,x_2)) $ einfach $ f(x_1,x_2) $ schreibt.
[/mm]
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> Das ist mir soweit auch alles klar.
> Das Problem ist ich weiss nicht wie ich mit diesen Tupeln
> dann rechnen soll:
>
> Für die erste Formel hab ich:
>
> [mm]$f( (x_0,y_0) , (x_1,y_1) =( ( (x_0,y_0)+2(x_1,y_1) ) , (3(x_0,y_0) + 4(x_1,y_1) ) )$[/mm]
Ich verstehe hier überhaupt nicht, warum Du $f(x,y)$ für $(x,y) [mm] \in \IR^2 \times \IR^2$ [/mm] einsetzt? Oder was machst Du hier genau?
Erstmal nochmal das, was Du zu zeigen hast:
Sind [mm] $x=(x_1,x_2)$, $y=(y_1,y_2) \in \IR^2$, [/mm] so ist zu zeigen, dass
$f(x+y)=f(x)+f(y)$, also
[mm] $(\*)$ $f((x_1,x_2)+(y_1,y_2))=f(x_1,x_2)+f(y_1,y_2)$ [/mm] gilt.
Wie ist für [mm] $x=(x_1,x_2)$, $y=(y_1,y_2) \in \IR^2$ [/mm] die Summe $x+y$ dann definiert? Genau, komponentenweise:
Also: [mm] $x+y=(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1, x_2+y_2)$.
[/mm]
Guckst Du nochmal in [mm] $(\*)$, [/mm] so haben wir hier also zu zeigen, dass stets
[mm] $f(x_1+y_1,x_2+y_2)=f(x_1,x_2)+f(y_1,y_2)$ [/mm] gilt.
Meinetwegen auch mal an einem Beispiel:
$x:=(3,5), y:=(7,10) [mm] \in \IR^2$ [/mm] ist klar. Wenn [mm] $(s_1,s_2)=s:=x+y=(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2)=(3+7,5+10)=(10,15)$ [/mm] ist und $f$ als linear erkannt wurde, so heißt das hier ja insbesondere auch, dass $f(x+y)=f(x)+f(y)$ gilt, also, dass
$f(s)=f(x)+f(y)$, also:
$f(10,15)=f(3,5)+f(7,10)$
Klarer?
Und bei der Skalarmultiplikation:
Weil $a [mm] (x_1,x_2)=(ax_1,ax_2)$ [/mm] definiert ist, musst Du einfach nur zeigen:
[mm] $f(ax_1,ax_2)=a*f(x_1,x_2)$
[/mm]
Beispiel:
$f(6,15)=f(3*2,3*5)=f(3*(2,5))$ und wenn $f$ als linear erkannt wurde, sollte daher
$f(3*(2,5))=3*f(2,5)$ gelten...
P.S.:
Vielleicht mal, weil Du oben mit der Summe nicht zurechtgekommen bist:
Wir setzen [mm] $s=(s_1,s_2):=x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2)$, [/mm] also [mm] $s_i:=x_i+y_i$ [/mm] für $i=1,2$. Dann ist
[mm] $f(x+y)=f(s)=f(s_1,s_2)=\blue{(}\red{s_1+2*s_2}\blue{,} \red{3*s_1+4*s_2}\blue{)}=\blue{(}\red{(x_1+y_1)+2*(x_2+y_2)}\blue{,} \red{3*(x_1+y_1)+4*(x_2+y_2)}\blue{)}$
[/mm]
(Ich habe jetzt extra mal die beiden Komponenten rot markiert und zur besseren Erkennung die Klammern des Tupels Blau!)
und das ist nun zu vergleichen mit
[mm] $f(x)+f(y)=f(x_1,x_2)+f(y_1,y_2)$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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