A zusammenhängend \IR < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:23 Mo 03.06.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Wir betrachten [mm] \IR [/mm] mit euklidischen Topologie
Zeige:
Für A [mm] \subseteq \IR [/mm] gilt: A ist zusammenhängend <=> [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] A , x<y : [x,y] [mm] \subseteq [/mm] A |
Hallo
Die Richtung => hab ich mittels Kontraposition.
Nun stecke ich bei <=
A nicht zsh, d.h. [mm] \exists [/mm] V,U [mm] \in \tau_A, [/mm] V [mm] \cap [/mm] U = [mm] \emptyset, [/mm] V [mm] \not= \emptyset, [/mm] U [mm] \not= \emptyset [/mm] mit A= V [mm] \cup [/mm] U
ZZ.: [mm] \exists [/mm] x,y [mm] \in [/mm] A, x < y : [x,y] [mm] \not\subseteq [/mm] A
Erstmals die Frage, was mache ich wenn A nur einpunktig oder leer ist? Ich denke dann kann man eine Menge gar nicht als nicht zusammenhängend charakterisieren.
Betrachte ich nun [x,y] mit x [mm] \in [/mm] V , y [mm] \in [/mm] U
Hier fehlt mir die Argumentation wieso es ein t zwischen x und y gibt, dass nicht in A liegt!
Intuitiv ist es klar. Habt ihr eine idee?
2Frage:
Wieso folgt aus dem Lemma, dass die nichtleeren zusammenhängenden Teilmengen von [mm] \IR [/mm] genau die Intervalle sind?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:10 Mo 03.06.2013 | | Autor: | sissile |
Ich habe schon eine Idee:
Betrachte t:= sup $ [mm] \{z \in [x,y] : z \in V \} [/mm] $
Aber muss t $ [mm] \in [/mm] $ A sein? (denn dann müsste t $ [mm] \in [/mm] $ V oder t $ [mm] \in [/mm] $ U sein was beide male auf einen Widerspruch führt)
Zu meiner Frage:
Die nichtleeren zusammenhängenden teilmengen von $ [mm] \IR [/mm] $ sind genau die Intervalle:
Sei I $ [mm] \subseteq [/mm] $ R zusammenhängend und I kein Intervall => $ [mm] \exists [/mm] $ x,yyz $ [mm] \in \IR [/mm] $ , x<z<y, x,y $ [mm] \in [/mm] $ I, z $ [mm] \not\in [/mm] $ I
d.h. [x,y] $ [mm] \not\subseteq [/mm] $ I
=> (Lemma) I nicht zusammenhängend
Widerspruch
Nochzuzeigen alle Intervalle sind zusammenhängend.
Sei I ein Intervall. I=[x,y], I= [x,y[, I=]y,x], I=]x,y[ , $ [mm] I=]-\infty, [/mm] $ y[, $ [mm] I=]x,\infty[,I=]-\infty, \infty[ [/mm] $ = $ [mm] \IR [/mm] $ ,..
Ang solch ein Intervall I ist nicht zusammenhängend.
=> (Lemma) $ [mm] \exists [/mm] $ x,y $ [mm] \in [/mm] $ I , x< y : [x,y] $ [mm] \subseteq [/mm] $ I
Kann man sagen, dass widerspricht der Tatsache ein Intervall zu sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Mo 03.06.2013 | | Autor: | vootey |
Hallo,
ich würde das wie folgt machen.
sei A [mm] \subseteq \IR [/mm] nicht zusammenhängend, dann [mm] \exists [/mm] U,V [mm] \subseteq [/mm] A mit den schon genannten Eigenschaften. sei nun o.B.d.A x [mm] \in [/mm] U und y [mm] \in [/mm] V.
Außerdem sei p := sup U (damit ist p [mm] \not\in [/mm] U).
ang. p [mm] \in [/mm] V [mm] \Rightarrow \exists \epsilon [/mm] > 0 : [mm] ]p-\epsilon,p+\epsilon[ \subseteq [/mm] V (weil V offen). [mm] \Rightarrow ]p-\epsilon,p+\epsilon[ \cap [/mm] U [mm] \not= \emptyset [/mm] weil p = sup U. Dies ist ein Widerspruch zu U [mm] \cap [/mm] V = [mm] \emptyset \Rightarrow [/mm] p [mm] \not\in [/mm] V.
Weil p [mm] \not\in [/mm] V und p [mm] \not\in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] p [mm] \not\in [/mm] A und damit [x,y] [mm] \not\subseteq [/mm] A.
Wie klingt das?
Darf ich außerdem fragen, wie du die andere Richtung gemacht hast?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:14 Mi 05.06.2013 | | Autor: | sissile |
Danke, der Beweis ist schön.
Bist du noch an der anderen Richtung interessiert - wenn ja willst du einen Tipp oder eine Lösung?
LG
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