A und U bei Quadrat + Rechteck < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Huhu,
diesesmal soll ich beweisen, dass das Quadrat von allen Rechtecken mit dem gleichem Umfang den größten Flächeninhalt besitzt.
Anscheinend gibt es eine Möglichkeit anhand der Differenzialrechnung weiterzukommen, jedoch übersteigt dies meine Kenntnisse der Methematik...
(https://matheraum.de/forum/Quadrat_=_groesste_Flaeche/t87184)
Ich bin schon so weit:
Aus dem Satz ergibt sich:
U = 2a +2b
A= a*b
U= 2a+2b
[mm] \gdw \bruch{1}{2} [/mm] U = a+b
[mm] \gdw \bruch{1}{2} [/mm] U -a =b
So kann ich für b einsetzen...
A = a [mm] (\bruch{1}{2}U-a)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] A = [mm] \bruch{1}{2}Ua-a^{2} [/mm] Ich forme so um, dass die BF anwendbar sind
[mm] \gdw [/mm] A = [mm] (\bruch{U}{4})^{2}- (\bruch{U}{4})^{2}+2\bruch{Ua}{4}-a^{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] A = [mm] (\bruch{U}{4})^{2}-(a^{2}-2\bruch{Ua}{4}+(\bruch{U}{4})^{2})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] A = [mm] -(a-\bruch{U}{4})^{2} [/mm] + [mm] (\bruch{U}{4})^{2}
[/mm]
[mm] s(\bruch{U}{4}|-\bruch{U}{4})
[/mm]
Jetzt habe ich den Scheitelpunkt der Parabel, doch ich weiß nicht, wie ich fortsetzen soll...
Da ich ja a = b beweisen will müsste der Scheitelpunkt doch bei [mm] s(\bruch{U}{4}|\bruch{U}{4}) [/mm] liegen, oder?
Ich freue mich auf Hilfe. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 So 30.11.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Huhu,
> diesesmal soll ich beweisen, dass das Quadrat von allen
> Rechtecken mit dem gleichem Umfang den größten
> Flächeninhalt besitzt.
>
> Anscheinend gibt es eine Möglichkeit anhand der
> Differenzialrechnung weiterzukommen, jedoch übersteigt
> dies meine Kenntnisse der Methematik...
>
> (https://matheraum.de/forum/Quadrat_=_groesste_Flaeche/t87184)
>
> Ich bin schon so weit:
> Aus dem Satz ergibt sich:
> U = 2a +2b
> A= a*b
>
> U= 2a+2b
> [mm]\gdw \bruch{1}{2}[/mm] U = a+b
> [mm]\gdw \bruch{1}{2}[/mm] U -a =b
> So kann ich für b einsetzen...
>
> A = a [mm](\bruch{1}{2}U-a)[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] A = [mm]\bruch{1}{2}Ua-a^{2}[/mm] Ich forme so um, dass die
> BF anwendbar sind
> [mm]\gdw[/mm] A = [mm](\bruch{U}{4})^{2}- (\bruch{U}{4})^{2}+2\bruch{Ua}{4}-a^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] A =
> [mm](\bruch{U}{4})^{2}-(a^{2}-2\bruch{Ua}{4}+(\bruch{U}{4})^{2})[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] A = [mm]-(a-\bruch{U}{4})^{2}[/mm] + [mm](\bruch{U}{4})^{2}[/mm]
Bis hier ist alles korrekt.
>
> [mm]s(\bruch{U}{4}|-\bruch{U}{4})[/mm]
Aber die Scheitelpunktform lautet doch [mm] f(x)=a(x-x_{s})^{2}+y_{s}
[/mm]
Damit ist dein Scheitel bei
[mm] S=\left(-\frac{u}{4}|\frac{u^{2}}{16}\right)
[/mm]
Die [mm] y-Koordinate \frac{u^{2}}{16} [/mm] ist dann hier der Maximale Flächeninhalt die minimale Seite liegt in der Tat bei [mm] a=\frac{u}{4}
[/mm]
Die zweite Seite ist dann wie gewünscht [mm] b=\frac{1}{2}u-a=\frac{u}{2}-\frac{u}{4}=\frac{u}{4}
[/mm]
> Jetzt habe ich den Scheitelpunkt der Parabel, doch ich
> weiß nicht, wie ich fortsetzen soll...
> Da ich ja a = b beweisen will müsste der Scheitelpunkt
> doch bei [mm]s(\bruch{U}{4}|\bruch{U}{4})[/mm] liegen, oder?
>
> Ich freue mich auf Hilfe. :)
>
Marius
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Das war ja ein blöder Fehler von mir. :-/
Danke für die Hilfe. :)
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