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Wunderschönen Guten Morgen!
Komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Sei [mm] A=\pmat{ 4 & 1 \\ -2 & 1 }\in\M(2\times2, \IR).
[/mm]
Nun soll ich [mm] A^{n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] berechnen!
Der Tip aus der Vorlesung: [mm] A\to B\to B^{n}\to A^{n} [/mm] hat mir nicht geholfen, also habe ich erstmal bis [mm] A^{5} [/mm] ausmultipliziert.
Folgende Ergebnisse habe ich erhalten:
[mm] A^{2}= \pmat{ 14 & 5 \\ -10 & -1 }
[/mm]
[mm] A^{3}= \pmat{ 46 & 19 \\ -38 & -11 }
[/mm]
[mm] A^{4}= \pmat{ 146 & 65 \\ -130 & -49 }
[/mm]
[mm] A^{5}= \pmat{ 454 & 211 \\ -422 & -179 }
[/mm]
Ich erkenne nun, dass für [mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] immer a und c bzw. b und d im Verhältnis stehen ( ohne Berücksichtigung der Vorzeichen), d.h. Unterschied: 4, 8, 16, 32, usw.
Aber das bringt mir nicht wirklich was für mein [mm] A^{n}! [/mm] Ich muss doch wissen, wie sich nur a, b, c oder d verhalten! Oder nicht?
Oder bin ich vielleicht sogar auf dem völlig falschen Weg?
Wäre echt lieb, wenn ihr mir helfen könntet!
Lieben Gruß Jessi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Di 10.05.2005 | | Autor: | Marc |
> Wunderschönen Guten Morgen!
![[morgaehn]](/images/smileys/morgaehn.gif "[morgaehn]") Jessi
> Komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
>
> Sei [mm]A=\pmat{ 4 & 1 \\ -2 & 1 }\in\M(2\times2, \IR).[/mm]
> Nun
> soll ich [mm]A^{n}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] berechnen!
>
> Der Tip aus der Vorlesung: [mm]A\to B\to B^{n}\to A^{n}[/mm] hat mir
> nicht geholfen, also habe ich erstmal bis [mm]A^{5}[/mm]
> ausmultipliziert.
> Folgende Ergebnisse habe ich erhalten:
>
> [mm]A^{2}= \pmat{ 14 & 5 \\ -10 & -1 }[/mm]
> [mm]A^{3}= \pmat{ 46 & 19 \\ -38 & -11 }[/mm]
>
> [mm]A^{4}= \pmat{ 146 & 65 \\ -130 & -49 }[/mm]
> [mm]A^{5}= \pmat{ 454 & 211 \\ -422 & -179 }[/mm]
>
> Ich erkenne nun, dass für [mm]A=\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] immer a
> und c bzw. b und d im Verhältnis stehen ( ohne
> Berücksichtigung der Vorzeichen), d.h. Unterschied: 4, 8,
> 16, 32, usw.
> Aber das bringt mir nicht wirklich was für mein [mm]A^{n}![/mm] Ich
> muss doch wissen, wie sich nur a, b, c oder d verhalten!
> Oder nicht?
> Oder bin ich vielleicht sogar auf dem völlig falschen
> Weg?
Ich denke, so könnte man es mit viel Geduld auch ausrechnen 
Den Tipp aus der Vorlesung würde ich so verstehen: Finde eine Matrix $B$, deren Potenzen [mm] $B^n$ [/mm] einfach berechenbar sind. Da fallen mir sofort Matrizen in Diagonalgestalt ein.
Probier' doch mal, eine Matrix C und B, mit B in Diagonalgestalt, zu finden, so dass wir haben:
[mm] $A=C^{-1}*B*C$
[/mm]
Dann gilt nämlich für die Potenzen von $A$: [mm] $A^n=C^{-1}*B^n*C$.
[/mm]
Wenn ich ältere Fragen von dir ansehen, müßtest du eigentlich die thematischen Grundlagen für so eine Darstellung kennen, ein Tipp noch: Eigenwerte haben damit zu tun...
Viel Spaß,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Di 10.05.2005 | | Autor: | Staatsi21 |
Hey Marc!
Das ist echt ein super Tip! Danke!
So werde ich es jetzt nochmal versuchen!
Das müsste ich eigentlich hinkriegen!
Ansonsten melde ich mich nochmal!
Schönen tag noch... Jessi
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