matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationA mittels Kurvenint. berechnen
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Integration" - A mittels Kurvenint. berechnen
A mittels Kurvenint. berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

A mittels Kurvenint. berechnen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Mo 23.01.2012
Autor: kalifat

Aufgabe
[mm] \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}\le{1} [/mm]


Nun, ich soll nun den Flächeninhalt des folgenden Bereichs mittels Kurvenintegralen berechnen.

Ich bin mir da gerade etwas im Unklaren darüber welchen Satz ich anwenden soll. Evt. mit dem Gaußschen Integralsatz?

[mm] \integral_{}^{}{\integral_{M}^{}{ } d\omega}=\integral_{\partial{M}}^{}{\omega } [/mm]

Ich habe es auch mit der Transformationsformel probiert, ist jedoch nicht hilfreich da sich nichts wegkürzt.

        
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:59 Mo 23.01.2012
Autor: leduart

Hallo
gemeint ist wohl der Gausssche Integralsatz. was dein [mm] \omega [/mm] und d sein soll weiß ich nicht.
Gruss leduart


Bezug
                
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 Mo 23.01.2012
Autor: kalifat

Ja, wie ich vermutete, mit dem Gaußschen Integralsatz.

[mm] M\subseteq{\mathbb{R}^2} [/mm] lässt sich in endlich viele Normalbereiche zerlegen. [mm] \omega=udx+vdy [/mm] eine 1-Form der Klasse [mm] C^1 [/mm] auf einer offenen Menge [mm] U\subseteq{M}, [/mm] dann gilt:

[mm] \integral_{}^{}{\integral_{M}^{}{ } d\omega}=\integral_{\partial{M}}^{}{\omega } [/mm]

Wie schaut nun mein Flächeinhalt der Ellipse unter dem Integral aus?

Bezug
                        
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Mo 23.01.2012
Autor: notinX

Hallo,

> Ja, wie ich vermutete, mit dem Gaußschen Integralsatz.

ist hier nicht eher der Stoke'sche Satz gefragt?

>  
> [mm]M\subseteq{\mathbb{R}^2}[/mm] lässt sich in endlich viele
> Normalbereiche zerlegen. [mm]\omega=udx+vdy[/mm] eine 1-Form der
> Klasse [mm]C^1[/mm] auf einer offenen Menge [mm]U\subseteq{M},[/mm] dann
> gilt:
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\integral_{M}^{}{ } d\omega}=\integral_{\partial{M}}^{}{\omega }[/mm]

Das sieht mir auch scharf nach Stokes aus...

>  
> Wie schaut nun mein Flächeinhalt der Ellipse unter dem
> Integral aus?

Laut Aufgabenstellung soll das ja mit Kurvenintegralen berechnet werden. Was Du brauchst, ist also erstmal eine Parametrisierung der Kurve.

Gruß,

notinX

Bezug
                                
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:37 Mo 23.01.2012
Autor: kalifat

Stokes haben wir im Skriptum erst nach dem Übungsbeispiel definiert. Meine Schreibweise wurde vielleicht unklug gewählt.

[mm] \integral_{}^{}{\integral_{M}^{}{ } (v_x-u_y)dxdy}=\integral_{\partial{M}}^{}{(udx+vdy)} [/mm]

Eine Umschreibung des Satzes von vorhin. Stokes schaut in dieser Hinsicht ein klein wenig anders aus.

In meinem Beispiel, was genau ist [mm] v_x [/mm] und [mm] u_y? [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 Mo 23.01.2012
Autor: Leopold_Gast

Wenn [mm]M[/mm] die volle Ellipse und [mm]\partial M[/mm] ihren positiv orientierten Rand bezeichnet, dann gilt:

[mm]\int_{\partial M} \omega = \int_{M} \mathrm{d} \omega[/mm]

Damit sich nun hier der Flächeninhalt ergibt, mußt du eine Differentialform [mm]\omega[/mm] mit [mm]\mathrm{d} \omega = \mathrm{d} x \wedge \mathrm{d} y[/mm] finden. Drei Vorschläge:

[mm]\omega = x ~ \mathrm{d} y[/mm]

[mm]\omega = -y ~ \mathrm{d} x[/mm]

[mm]\omega = \frac{1}{2} \left( x ~ \mathrm{d} y - y ~ \mathrm{d} x \right)[/mm]

Mit der linken Seite der obigen Formel kannst du den Flächeninhalt der Ellipse jetzt über ein Kurvenintegral bestimmen. Am schnellsten geht es wohl mit der dritten Variante. Sie läuft beim Rechnen auf den trigonometrischen Pythagoras hinaus.

Bezug
                                                
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:59 Mo 23.01.2012
Autor: kalifat

Danke für deine Antwort.

Erhalte ich dann als Integral folgendes? (Habe die 1.Differentialform verwendet)

[mm] \integral_{0}^{a*\wurzel{b^2-x^2}}{\integral_{0}^{a*\wurzel{b^2-y^2}}{1 dx} dy} [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:55 Mo 23.01.2012
Autor: Leopold_Gast

Ich dachte, du wolltest die Aufgabe mit einem Kurvenintegral lösen. Warum jetzt doch ein Doppelintegral? Im übrigen ist das auch noch falsch berechnet. Das sieht man alleine schon daran, daß beim äußeren Integral die Variable [mm]x[/mm] in der oberen Grenze vorkommt. Das ist aber denkunmöglich.

Du mußt, wenn du die erste Variante wählst,

[mm]\int_{\gamma} x ~ \mathrm{d}y[/mm]

berechnen, worin [mm]\gamma[/mm] der positiv orientierte Ellipsenrand ist. Verwende die bekannte Parameterdarstellung für die Ellipse mit den trigonometrischen Funktionen.

Bezug
                                                                
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:21 Mo 23.01.2012
Autor: kalifat

Sry, hatte einen Gedankenfehler. Ok, dann ist [mm] x(t)=\vektor{a*cos(t) \\ b*sin(t)} [/mm]

=> [mm] \integral_{\gamma}^{}{\omega }=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2Pi}{a*b*cost*cost-b*sint*(-a*sint) dt}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2Pi}{ab dt} [/mm]

Ich habe jetzt die letzte Differentialform verwendet.

Wie gehe ich eigentlich allgemein vor, wenn ich nicht parametrisieren kann, also beispielsweise bei

[mm] \overline{U}_1(1)\cap\{(x,y): |y|\le{x}\} [/mm] Hierzu fällt mir überhaupt nichts ein.

Bezug
                                                                        
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:44 Di 24.01.2012
Autor: leduart

Hallo
woher kommt der zwite summand (sin) in deinem Integral
wirklich nur xdy  (nicht der Vektor [mm] \vec{x} [/mm] sondern x=asint
Gruss leduart

Bezug
                                                                                
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:31 Di 24.01.2012
Autor: Leopold_Gast

kalifat hat die dritte Variante gewählt.

Bezug
                                                                        
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:36 Di 24.01.2012
Autor: Leopold_Gast

Die Rechnung stimmt jetzt, allerdings nicht die Schreibweise. Es fehlen Klammern: [mm]\int_0^{2 \pi} \left( \ldots \right) ~ \mathrm{d}t[/mm]

Zum zweiten: Da müßte man natürlich wissen, was [mm]\overline{U}_1(1)[/mm] bedeuten soll. Das ist keine allgemeingültige Bezeichnung, sie ist kontextbezogen. Sieht irgendwie nach "Umgebung" aus. Aber "Umgebung von 1" im [mm]\mathbb{R}^2[/mm] ?

Bezug
                                                                                
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 Di 24.01.2012
Autor: kalifat

[mm] U_r(x) [/mm] bezeichnet die offene r-Kugel um x, also in diesem Fall eine abgeschlossene Kugel mit Radius 1 um den Punkt 1.

Bezug
                                                                                        
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 Di 24.01.2012
Autor: fred97


> [mm]U_r(x)[/mm] bezeichnet die offene r-Kugel um x, also in diesem
> Fall eine abgeschlossene Kugel mit Radius 1 um den Punkt 1.

Der Mittelpunkt der Kugel ist doch ein Punkt im [mm] \IR^2 [/mm] !!!

FRED


Bezug
                                                                                                
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 Di 24.01.2012
Autor: kalifat

Ja, mir hilft das trotzdem bei der Bestimmung des Integrals nicht weiter. Wie schaut das Integral aus, wenn ich beispielsweise die dritte Differentialform von Leopold_Gast auswähle?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:43 Di 24.01.2012
Autor: leduart

Hallo
du hattest das schon richtig, LG hat das auch bis auf die Klammersetzug bestätigt und du hast ja auch das richtige Ergebnis [mm] \pi*a*b [/mm] raus, bist also längst fertig
Gruss leduart

Bezug
                                                                                                                
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Di 24.01.2012
Autor: kalifat

Ja :) aber ich rede nun von einem anderen Beispiel, sry wenn das nicht ersichtlich war.

Sei nun der Bereich nicht die Ellipse, sondern der Bereich ist nun durch

[mm] \overline{U}_1(1)\cap\{(x,y):|y|\le{x}\} [/mm]

Als Differentialform möchte nun wieder eine von denen, die Leopold_Gast angeführt hat verwenden.

Wie schaut da nun das Integral aus, was muss in der Diff-Form für x und y einsetzen, mich irritiert diese Menge weil ich keine Parameterdarstellung habe (wie vorhin bei der Ellipse.)

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:58 Di 24.01.2012
Autor: leduart

Hallo
hast du das mal gezeichnet, dann solltest du die Parameterdarstellung aber finden, die kann ja auch stückweise sein.
Gruss leduart

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 16:27 Di 24.01.2012
Autor: Leopold_Gast

Wie soll kalifat etwas zeichnen, dessen Bedeutung ungeklärt ist?

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:24 Mi 25.01.2012
Autor: leduart

Hallo
keopoldGast hat recht, solange unklar ist , was [mm] U_1(1) [/mm] ist kann man gar nichts sagen. steht das da exakt so in der Aufgabe? und der Querstrich über U??
Gruss leduart

Bezug
                                                                                                        
Bezug
A mittels Kurvenint. berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:45 Di 24.01.2012
Autor: Leopold_Gast

Du bist ja witzig. Erst bitte ich dich, in eine Frage gekleidet, die Aufgabe richtigzustellen, dann bekräftigt fred97 das in klaren Worten noch einmal. Und du kommst schon wieder mit einem Hilferuf. Liest du eigentlich anderer Leute Beiträge?

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]