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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo,
in einer Klausur steht folgende Aufgabe:
Sei V ein Euklidischer VR, $v [mm] \in$ [/mm] V und A der Endomorphismus von V, definiert durch [mm] $Au=\left\langle u, v\right\rangle [/mm] v$. Zeigen sie, dass A selbstadjungiert ist und bestimmen sie die Eigenwerte von A.
Das was ich zu dieser Aufgabe bis jetzt zu stande bekommen habe widerspricht leider jeglicher Grundsätzen der Mathematik. Ein kleiner Ansatz würde mir allerdings für den ersten Teil der Aufgabe schon genügen denke ich.
Wie ich die Eigenwerte rauskriegen soll kann ich überhaupt nicht verstehen, da wäre ich über eine ausführliche Antwort dankbar.
Vielen Dank und liebe Grüße,
Olek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Olek!
Zunächst zur Selbstadjungiertheit:
[mm] $\langle [/mm] Au,w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle \langle [/mm] u,v [mm] \rangle [/mm] v,w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] u,v [mm] \rangle \langle [/mm] v,w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \langle [/mm] u, Aw [mm] \rangle$.
[/mm]
Du schaffst es sicher die Lücke zu stopfen, oder? 
Jetzt zum Eigenwert:
Ein Eigenvektor $u$ von $A$ zu einem Eigenwert [mm] $\lambda \ne [/mm] 0$ muss erfüllen:
[mm] $\lambda [/mm] u = Au = [mm] \langle [/mm] u,v [mm] \rangle [/mm] v$.
Daraus folgt zwangsläufig: $u = [mm] \frac{\langle u,v \rangle}{\lambda} [/mm] v [mm] \in [/mm] Span(v)$.
Jetzt schauen wir uns an, zu welchem Eigenwert denn $v$ der Eigenvektor ist. Nun:
$Av = [mm] \langle [/mm] v,v [mm] \rangle [/mm] v$.
Aha! ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Wie sieht es nun mit dem Eigenwert $0$ aus?
Dann muss gelten:
$0 = Au = [mm] \langle [/mm] u,v [mm] \rangle [/mm] v$, also im Falle $v [mm] \ne [/mm] 0$:
[mm] $\langle u,v\rangle [/mm] =0$,
also:
$u [mm] \perp [/mm] v$
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Olek |
Hi Julius!
Deine Antwort war wirklich sehr verständlich. Gerade der erste Teil war ja eigentlich nur umformen - und ich hab sonst was versucht ...
Beim zweiten Teil ist der Ansatz klar, aber folgendes versteh ich noch nicht ganz:
$ [mm] \lambda [/mm] u = Au = [mm] \langle [/mm] u,v [mm] \rangle [/mm] v $
mit einem $ [mm] \lambda \in \IR [/mm] $. daraus folgt zwangsläufig: $ u [mm] \in [/mm] Span(v) $.
Wie das daraus folgt versteh ich nicht ganz. Folgt das aus einem bestimmten Satz, oder sieht man das? Wär schön wenn du mir das vielleicht noch mal kurz erklären könntest.
Vielen Dank und liebe Grüße,
Olek
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Olek!
Gut, dass du noch einmal nachgefragt hast. Mein Beweis gilt nämlich nur für [mm] $\lambda \ne [/mm] 0$. Dann kann man durch [mm] $\lambda$ [/mm] teilen und sieht, dass $u$ ein Vielfaches von $u$ ist. Für [mm] $\lambda=0$ [/mm] muss man anders vorgehen. Ich editiere gerade meinen anderen Beitrag.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Olek |
Hi Julius,
vielen Dank für deine Mühe. Ich habs jetzt glaub ich alles soweit, und wollte dich auch nicht überstrapazieren. Solltest du dich allerdings noch dazu in der Lage sehen und aufraffen können, mir folgenden Schritt zu erläutern, wäre ich dir sehr dankbar.
Jetzt schauen wir uns an, zu welchem Eigenwert denn $ v $ der Eigenvektor ist. Nun:
$ Av = [mm] \langle [/mm] v,v [mm] \rangle [/mm] v $.
Mir ist nämlich nicht wirklich klar, was das genau soll, und was dann daraus folgt.
Schönen Dank für die Klärung dieser Aufgabe,
LG Olek
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Olek!
Wir hatten festgestellt, dass $v$ Eigenvektor ist.
Nun wollen wir den Eigenwert von $v$ bestimmen. Dieser ist definiert als diejenige reelle Zahl [mm] $\lambda$ [/mm] mit
$Av = [mm] \lambda [/mm] v$.
Also rechne ich $Av$ aus und stelle fest:
$Av = [mm] \langle [/mm] v,v [mm] \rangle [/mm] v$.
Daher muss [mm] $\lambda=\langle [/mm] v,v [mm] \rangle$ [/mm] der Eigenwert von $v$ sein.
Liebe Grüße
Julius
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