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AWP bei nichtlinearen DGL: Anfangswertproblem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Sa 26.03.2005
Autor: GuinMan

Hallo Leute,

Ich hsitze gerade an der Berehnung einer Musterklausur für Differential Gleichunggen für Wirtschaftswissenschaftler und habe folgendes Problem:

Lösen sie das Anfangswertproblem p' = p(a - pb)
mit p(T0) = c > 0
für alle t >= T0
Es gelte: bc < a

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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AWP bei nichtlinearen DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 Sa 26.03.2005
Autor: andreas

hi

ich gebe dir nur mal einen tipp, wie man dies rechnen kann, nämlich mit trennung der veränderlcieh. ich nehem dabei an, dass $p(t)$ eine funktion von $t$ ist. man erhält dann

[m] \int \frac{\textrm{d}p}{ap - bp^2} = \int \textrm{d}t [/m]


und die linke seite kann man nun mit partialbruchzerlegung integriern. danach noch mit dem anfangswert die integrationskonstante bestimmen.
probiere mal, ob du damit weiterkommst.


grüße
andreas




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AWP bei nichtlinearen DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:02 So 27.03.2005
Autor: GuinMan

Schönen Dank Andreas,
habe mir auch schon gedacht, daß man es so lösen kann, habe nur mangels Zeit an dieser Stelle abgebrochen.
Aber jetzt, da ich weiß, daß es der richtige Weg ist, werde ich mal weiter rechnen.

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AWP bei nichtlinearen DGL: Rückfrage (AWP)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Di 29.03.2005
Autor: GuinMan

Ich habe mich nochmal der Berechnung der obigen Aufgabe gewidmet und habe aus Lösung der Integration durch Partialburchzerlegung heraus:

[ln(p) - ln(bp -a)] / a = t

aufgelöst nach p ergibt sich dann:

p = a/b - a*exp[(t-c)a]

Allerdingas habe ich dann noch Probleme bei der Lösung des Anfangswertproblems dieser Aufgabe mit p(to) = c > 0.

Ich komme einfach nicht auf den Lösungsweg vom Ausgangspunkt p(t) = ...

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AWP bei nichtlinearen DGL: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Mi 30.03.2005
Autor: MathePower

Hallo,

ich habe eine völlig andere Lösung der DGL heraus:

[mm] \begin{gathered} p'\; = \;p\;\left( {a\; - \;p\;b} \right) \hfill \\ \Rightarrow \;\frac{{dp}} {{p\;\left( {a\; - \;p\;b} \right)}}\; = \;dt \hfill \\ \Rightarrow \;\int {\frac{{dp}} {{p\;\left( {a\; - \;p\;b} \right)}}} \; = \;t\; + \;C_{0} \hfill \\ \Rightarrow \;\frac{1} {a}\int {\left( {\frac{1} {p}\; + \;\frac{b} {{a\; - \;p\;b}}} \right)} \;dp\; = \;t\; + \;C_{0} \hfill \\ \Rightarrow \;\ln \;\left( {\frac{p} {{a\; - \;p\;b}}} \right)\; = \;a\;\left( {t\; + \;C_{0} } \right) \hfill \\ \Rightarrow \;\frac{p} {{a\; - \;p\;b}}\; = \;e^{a\;\left( {{\text{t}}\;{\text{ + }}\;{\text{C}}_{\text{0}} } \right)} \; = \;C_{1} \;e^{a\;t} \hfill \\ \Rightarrow \;p(t)\; = \;\frac{{a\;C_{1} \;e^{a\;t} }} {{1\; + \;b\;C_1 \;e^{a\;t} }}\; = \;\frac{{a\;C_{1} }} {{b\;C_{1} \; + \;e^{ - a\;t} }} \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Die Konstante [mm]C_{1}[/mm] muß natürlich noch bestimmt werden.

Gruß
MathePower


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AWP bei nichtlinearen DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:50 Do 31.03.2005
Autor: GuinMan

Ich habe meine Lösung durch das Mathe Programm derive 5.0 erhalten und danach selbst überprüft und bin auf das gleiche ergebnis gekommen.
Allerdings werde ich mal nachrechnen und schauen, wo der Fehler leigen könnte, aber trotzdem danke.

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