AWP bei nichtlinearen DGL < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Sa 26.03.2005 | | Autor: | GuinMan |
Hallo Leute,
Ich hsitze gerade an der Berehnung einer Musterklausur für Differential Gleichunggen für Wirtschaftswissenschaftler und habe folgendes Problem:
Lösen sie das Anfangswertproblem p' = p(a - pb)
mit p(T0) = c > 0
für alle t >= T0
Es gelte: bc < a
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Sa 26.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ich gebe dir nur mal einen tipp, wie man dies rechnen kann, nämlich mit trennung der veränderlcieh. ich nehem dabei an, dass $p(t)$ eine funktion von $t$ ist. man erhält dann
[m] \int \frac{\textrm{d}p}{ap - bp^2} = \int \textrm{d}t [/m]
und die linke seite kann man nun mit partialbruchzerlegung integriern. danach noch mit dem anfangswert die integrationskonstante bestimmen.
probiere mal, ob du damit weiterkommst.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 So 27.03.2005 | | Autor: | GuinMan |
Schönen Dank Andreas,
habe mir auch schon gedacht, daß man es so lösen kann, habe nur mangels Zeit an dieser Stelle abgebrochen.
Aber jetzt, da ich weiß, daß es der richtige Weg ist, werde ich mal weiter rechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Di 29.03.2005 | | Autor: | GuinMan |
Ich habe mich nochmal der Berechnung der obigen Aufgabe gewidmet und habe aus Lösung der Integration durch Partialburchzerlegung heraus:
[ln(p) - ln(bp -a)] / a = t
aufgelöst nach p ergibt sich dann:
p = a/b - a*exp[(t-c)a]
Allerdingas habe ich dann noch Probleme bei der Lösung des Anfangswertproblems dieser Aufgabe mit p(to) = c > 0.
Ich komme einfach nicht auf den Lösungsweg vom Ausgangspunkt p(t) = ...
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Hallo,
ich habe eine völlig andere Lösung der DGL heraus:
[mm]
\begin{gathered}
p'\; = \;p\;\left( {a\; - \;p\;b} \right) \hfill \\
\Rightarrow \;\frac{{dp}}
{{p\;\left( {a\; - \;p\;b} \right)}}\; = \;dt \hfill \\
\Rightarrow \;\int {\frac{{dp}}
{{p\;\left( {a\; - \;p\;b} \right)}}} \; = \;t\; + \;C_{0} \hfill \\
\Rightarrow \;\frac{1}
{a}\int {\left( {\frac{1}
{p}\; + \;\frac{b}
{{a\; - \;p\;b}}} \right)} \;dp\; = \;t\; + \;C_{0} \hfill \\
\Rightarrow \;\ln \;\left( {\frac{p}
{{a\; - \;p\;b}}} \right)\; = \;a\;\left( {t\; + \;C_{0} } \right) \hfill \\
\Rightarrow \;\frac{p}
{{a\; - \;p\;b}}\; = \;e^{a\;\left( {{\text{t}}\;{\text{ + }}\;{\text{C}}_{\text{0}} } \right)} \; = \;C_{1} \;e^{a\;t} \hfill \\
\Rightarrow \;p(t)\; = \;\frac{{a\;C_{1} \;e^{a\;t} }}
{{1\; + \;b\;C_1 \;e^{a\;t} }}\; = \;\frac{{a\;C_{1} }}
{{b\;C_{1} \; + \;e^{ - a\;t} }} \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Die Konstante [mm]C_{1}[/mm] muß natürlich noch bestimmt werden.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Do 31.03.2005 | | Autor: | GuinMan |
Ich habe meine Lösung durch das Mathe Programm derive 5.0 erhalten und danach selbst überprüft und bin auf das gleiche ergebnis gekommen.
Allerdings werde ich mal nachrechnen und schauen, wo der Fehler leigen könnte, aber trotzdem danke.
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