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| Aufgabe | Sei $I:=[a,b]$, [mm] $G\subset\mathbb{R}^n$ [/mm] zusammenhängend und offen.
[mm] $y_0\in [/mm] G$ und sei [mm] $f\in C^0(S,\mathbb{R}^n)$ [/mm] mit [mm] $S:=I\times [/mm] G$.
Betrachten Sie das Anfangswertproblem $y'(x)=f(x,y(x)$, [mm] $y(a)=y_0$.
[/mm]
Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden Aussagen:
I) $y: [mm] I\to\mathbb{R}^n$ [/mm] löst das Anfangswertproblem
II) [mm] $y\in [/mm] C(I, G)$ und [mm] $y(x)=y_0+\int_a^x f(s,y(s))\, [/mm] dx$ |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Zu erst einmal habe ich eine Frage zur Notation.
Was ist mit [mm] $f\in C^0(S, \mathbb{R}^n)$ [/mm] gemeint?
Meint man damit die Menge aller stetigen Funktionen $f: [mm] S\to\mathbb{R}^n$?
[/mm]
Zum Beweis:
Der Beweis scheint nicht weiter schwer zu sein und folgt im Grunde direkt aus unserer Definition eines Anfangswertproblems.
Die lautet wie folgt:
Seien $I:=[a,b]$, [mm] $G\subset\mathbb{R}^n$ [/mm] zusammenhängende offene Teilmenge, [mm] $S:=I\times [/mm] G$ und $f: [mm] S\to\mathbb{R}^n$ [/mm] stetig und [mm] $y_0\in [/mm] G$ .
Dann heißt $y: [mm] I\to\mathbb{R}^n$ [/mm] Lösung des Anfangswertproblems genau dann wenn
1) [mm] $y\in C^1(I,\mathbb{R}^n)$ [/mm] und [mm] $y(I)\subseteq [/mm] G$
2) y'(x)=f(y,y(x)) für alle [mm] $x\in [/mm] I$
3) [mm] $y(a)=y_0$
[/mm]
Es sind also genau die Voraussetzungen aus der Aufgabenstellung.
Hier hätte ich ebenfalls eine Frage zur Notation. Ist es so, dass
[mm] $C^1(I,\mathbb{R}^n)=C(I,\mathbb{R}^n)$ [/mm] gilt? Und man sich, wie ja üblich, das hinschreiben der eins spart?
Mein Beweis sieht dann so aus:
Sei [mm] $y:I\to\mathbb{R}^n$ [/mm] Lösung des Anfangswertproblems.
Dann gilt [mm] y\in C^1(I,\mathbb{R}^n)$ [/mm] und [mm] $y(I)\subseteq [/mm] G$, also
$y: [mm] I\to [/mm] G$, daher [mm] $y\in [/mm] C(I,G)$. (Wenn ich die Notation nun richtig gedeutet habe).
Da $y'(x)=f(x,(y(x))$ ist
[mm] $\int_a^x y'(s)\, ds=\int_a^x f(s,y(s))\, [/mm] ds$
[mm] $y(x)-y(a)=\int_a^x f(s,y(s))\, [/mm] ds$
[mm] $y(x)=y(a)+\int_a^x f(s,y(s))\, [/mm] ds$
[mm] $y(x)=y_0+\int_a^x f(s,y(s))\, [/mm] ds$
Nun handelt es sich in der Definition ja um eine "genau dann wenn"-Aussage.
Die Rückrichtung sollte ich mir also sparen können, weil ich im Beweis ja ohnehin nur Gleichheiten verwendet habe.
Wäre dies so korrekt?
Über eine Korrektur oder Bestätigung würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Sa 20.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]I:=[a,b][/mm], [mm]G\subset\mathbb{R}^n[/mm] zusammenhängend und
> offen.
> [mm]y_0\in G[/mm] und sei [mm]f\in C^0(S,\mathbb{R}^n)[/mm] mit [mm]S:=I\times G[/mm].
>
> Betrachten Sie das Anfangswertproblem [mm]y'(x)=f(x,y(x)[/mm],
> [mm]y(a)=y_0[/mm].
>
> Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden Aussagen:
>
> I) [mm]y: I\to\mathbb{R}^n[/mm] löst das Anfangswertproblem
>
> II) [mm]y\in C(I, G)[/mm] und [mm]y(x)=y_0+\int_a^x f(s,y(s))\, dx[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Zu erst einmal habe ich eine Frage zur Notation.
>
> Was ist mit [mm]f\in C^0(S, \mathbb{R}^n)[/mm] gemeint?
> Meint man damit die Menge aller stetigen Funktionen [mm]f: S\to\mathbb{R}^n[/mm]?
Ja
>
> Zum Beweis:
>
> Der Beweis scheint nicht weiter schwer zu sein und folgt im
> Grunde direkt aus unserer Definition eines
> Anfangswertproblems.
>
> Die lautet wie folgt:
>
> Seien [mm]I:=[a,b][/mm], [mm]G\subset\mathbb{R}^n[/mm] zusammenhängende
> offene Teilmenge, [mm]S:=I\times G[/mm] und [mm]f: S\to\mathbb{R}^n[/mm]
> stetig und [mm]y_0\in G[/mm] .
>
> Dann heißt [mm]y: I\to\mathbb{R}^n[/mm] Lösung des
> Anfangswertproblems genau dann wenn
>
> 1) [mm]y\in C^1(I,\mathbb{R}^n)[/mm] und [mm]y(I)\subseteq G[/mm]
>
> 2) y'(x)=f(y,y(x)) für alle [mm]x\in I[/mm]
>
> 3) [mm]y(a)=y_0[/mm]
>
>
> Es sind also genau die Voraussetzungen aus der
> Aufgabenstellung.
> Hier hätte ich ebenfalls eine Frage zur Notation. Ist es
> so, dass
>
> [mm]C^1(I,\mathbb{R}^n)=C(I,\mathbb{R}^n)[/mm] gilt? Und man sich,
> wie ja üblich, das hinschreiben der eins spart?
Nein. [mm] C^1(I,\mathbb{R}^n) [/mm] ist die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen $y:I [mm] \to \IR^n$
[/mm]
>
> Mein Beweis sieht dann so aus:
>
> Sei [mm]y:I\to\mathbb{R}^n[/mm] Lösung des Anfangswertproblems.
> Dann gilt [mm]y\in C^1(I,\mathbb{R}^n)$[/mm] und [mm]$y(I)\subseteq[/mm] G$,
> also
> [mm]y: I\to G[/mm], daher [mm]y\in C(I,G)[/mm]. (Wenn ich die Notation nun
> richtig gedeutet habe).
>
> Da [mm]y'(x)=f(x,(y(x))[/mm] ist
>
> [mm]\int_a^x y'(s)\, ds=\int_a^x f(s,y(s))\, ds[/mm]
>
> [mm]y(x)-y(a)=\int_a^x f(s,y(s))\, ds[/mm]
>
> [mm]y(x)=y(a)+\int_a^x f(s,y(s))\, ds[/mm]
>
> [mm]y(x)=y_0+\int_a^x f(s,y(s))\, ds[/mm]
O.K.
>
> Nun handelt es sich in der Definition ja um eine "genau
> dann wenn"-Aussage.
> Die Rückrichtung sollte ich mir also sparen können, weil
> ich im Beweis ja ohnehin nur Gleichheiten verwendet habe.
So einfach solltest Du Dir das nicht machen. Für eine solche "Rückrichtung" würde ich Dir 0 Punkte geben.
FRED
>
> Wäre dies so korrekt?
>
> Über eine Korrektur oder Bestätigung würde ich mich sehr
> freuen.
> Vielen Dank im voraus.
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Vielen Dank für deine Antwort.
> Nein. $ [mm] C^1(I,\mathbb{R}^n) [/mm] $ ist die Menge der stetig differenzierbaren
> Funktionen $ y:I [mm] \to \IR^n [/mm] $
Wieso ist dieser Schritt dann dennoch richtig:
> Dann gilt $ [mm] y\in C^1(I,\mathbb{R}^n)$ [/mm] $ und $ [mm] $y(I)\subseteq [/mm] $ G$,
> also
> $ y: [mm] I\to [/mm] G $, daher $ [mm] y\in [/mm] C(I,G) $.
Das sollte dann einfach daran liegen, dass
[mm] $C(I,G)\subseteq C^1(I,G)$
[/mm]
gilt. Richtig?
Zur Rückrichtung:
Also was hier zu tun wäre ist ja, dass ich die Bedingungen 1) bis 3) aus der Definition überprüfe.
Nun kann ich ja diesen Teil:
> Da $ y'(x)=f(x,(y(x)) $ ist
>
> $ [mm] \int_a^x y'(s)\, ds=\int_a^x f(s,y(s))\, [/mm] ds $
>
> $ [mm] y(x)-y(a)=\int_a^x f(s,y(s))\, [/mm] ds $
>
> $ [mm] y(x)=y(a)+\int_a^x f(s,y(s))\, [/mm] ds $
>
> $ [mm] y(x)=y_0+\int_a^x f(s,y(s))\, [/mm] ds $
genau so übernehmen, nur das man ihn wohl eher Rückwärts aufschreiben würde und erhält damit bereits die Bedingung 2) und 3).
Was dann noch fehlen würde ist zu zeigen, dass
[mm] $y\in C^1(I,\mathbb{R}^n)$ [/mm] und [mm] $y(I)\subseteq [/mm] G$.
Das [mm] $y(I)\subseteq [/mm] G$ gilt, ist klar da nach Voraussetzung [mm] $y\in [/mm] C(I,G)$ ist.
Nachdem was ich oben geschrieben habe sollte nun ja
[mm] $C(I,G)\subset C^1(I,G)$ [/mm] gelten. Es bliebe also noch zu zeigen, dass $y$ stetig differenzierbar ist.
Da $y'(x)=f(x,y(x))$ und [mm] $f\in C^0(S,\mathbb{R}^n)$ [/mm] ist, also f stetig. Ist y stetig differenzierbar.
Wäre es so in Ordnung?
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Über eine weitere Anmerkung zu meiner Rückrichtung würde ich mich sehr freuen.
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Hallo,
die Fälligkeit dieser Frage ist leider bereits abgelaufen. Ich würde mich aber weiterhin über eine Beantwortung der offenen Fragen sehr freuen.
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Do 25.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Antwort.
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> > Nein. [mm]C^1(I,\mathbb{R}^n)[/mm] ist die Menge der stetig
> differenzierbaren
> > Funktionen [mm]y:I \to \IR^n[/mm]
>
> Wieso ist dieser Schritt dann dennoch richtig:
>
> > Dann gilt $ [mm]y\in C^1(I,\mathbb{R}^n)$[/mm] $ und $
> [mm]$y(I)\subseteq[/mm] $ G$,
> > also
> > [mm]y: I\to G [/mm], daher [mm]y\in C(I,G) [/mm].
>
> Das sollte dann einfach daran liegen, dass
>
> [mm]C(I,G)\subseteq C^1(I,G)[/mm]
>
> gilt. Richtig?
Nein. Dann wäre ja jede stetige Funktion differenzierbar !! Das ist aber Unfug.
>
Es gilt [mm]C^1(I,G)\subseteq C(I,G)[/mm] !!!
>
>
> Zur Rückrichtung:
>
> Also was hier zu tun wäre ist ja, dass ich die Bedingungen
> 1) bis 3) aus der Definition überprüfe.
> Nun kann ich ja diesen Teil:
>
> > Da [mm]y'(x)=f(x,(y(x))[/mm] ist
> >
> > [mm]\int_a^x y'(s)\, ds=\int_a^x f(s,y(s))\, ds[/mm]
> >
> > [mm]y(x)-y(a)=\int_a^x f(s,y(s))\, ds[/mm]
> >
> > [mm]y(x)=y(a)+\int_a^x f(s,y(s))\, ds[/mm]
> >
> > [mm]y(x)=y_0+\int_a^x f(s,y(s))\, ds[/mm]
>
> genau so übernehmen, nur das man ihn wohl eher Rückwärts
> aufschreiben würde und erhält damit bereits die Bedingung
> 2) und 3).
>
> Was dann noch fehlen würde ist zu zeigen, dass
>
> [mm]y\in C^1(I,\mathbb{R}^n)[/mm] und [mm]y(I)\subseteq G[/mm].
>
> Das [mm]y(I)\subseteq G[/mm] gilt, ist klar da nach Voraussetzung
> [mm]y\in C(I,G)[/mm] ist.
O.K.
> Nachdem was ich oben geschrieben habe sollte nun ja
>
> [mm]C(I,G)\subset C^1(I,G)[/mm] gelten.
Nein. Siehe oben.
> Es bliebe also noch zu
> zeigen, dass [mm]y[/mm] stetig differenzierbar ist.
>
> Da [mm]y'(x)=f(x,y(x))[/mm]
Das kannst Du doch nicht verwenden ! Das sollst Du zeigen !!
> und [mm]f\in C^0(S,\mathbb{R}^n)[/mm] ist, also f
> stetig. Ist y stetig differenzierbar.
>
> Wäre es so in Ordnung?
Nein. Voraussetzung: [mm]y\in C(I,G)[/mm] und $ [mm] y(x)=y_0+\int_a^x f(s,y(s))\, [/mm] ds $ für alle x [mm] \in [/mm] I.
Zu zeigen:
[mm]y\in C^1(I,G)[/mm] , [mm] y(a)=y_0 [/mm] und y'(x)=f(x,y(x)) für alle x [mm] \in [/mm] I.
[mm] y(a)=y_0 [/mm] ist klar. Für
[mm] y\in C^1(I,G)[/mm] [/mm] und y'(x)=f(x,y(x)) für alle x [mm] \in [/mm] I
ziehe den Hauptsatz der Diff. - und Integralrechnung heran.
FRED
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