AWP/RWP wohldef. ,stetigkeit < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:22 Di 04.12.2012 | | Autor: | Skunki |
| Aufgabe | Seien $ a, b [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] und sei $ f [mm] \in C^1 ([a,b]\times \mathbb{R,R})$ [/mm] gleichmäßig bezüglich der ersten Variablen lipschitzstetig in der zweiten Variablen. Der Operator $F$ bilde [mm] $\xi \in \mathbb{R}$ [/mm] auf die Lösung [mm] $u_\xi [/mm] $ des Anfangswertproblems
$ u''(t) = f(t,u(t)) $ für $t [mm] \in [/mm] [a,b],$
$$u(a)=0, u'(a)= [mm] \xi$$
[/mm]
ab. Ferner gelte $ [mm] \frac{\partial f}{\partial u} [/mm] (t,u) [mm] \geq [/mm] 0$ für alle $t [mm] \in [/mm] [a,b], u [mm] \in \mathbb{R}$, [/mm] und es gebe [mm] $\alpha, \beta [/mm] > 0$ mit [mm] $u_{-\alpha}(b)<0
a) Die Abbildung [mm] $F:\mathbb{R}\rightarrow C^2 [/mm] ([a,b], [mm] \mathbb{R})$ [/mm] ist wohldefiniert.
b) Die Funktion $h: [mm] [-\alpha,\beta] \to \mathbb{R}, \xi \mapsto u_{\xi}(b)$, [/mm] ist stetig.
c) Das Randwertproblem (RWP)
$$ u''(t)=f(t,u(t))$$ für $$t [mm] \in [/mm] [a,b],
u(a)=u(b)=0 $$
besitzt eine Lösung
d) Betrachten Sie zwei Lösungen [mm] $u_1$ [/mm] und [mm] $u_2$ [/mm] zu (RWP), formen Sie das Integral [mm] \int\limits_a^b(\ddot u_1 [/mm] - [mm] \ddot u_2)(u_1-u_2)dt$ [/mm] unter Benutzung der Differentialgleichung (RWP) um und beweisen Sie schließlich damit die eindeutige Lösbarkeit von (RWP). |
Guten Abend alle miteinander,
Als Hinweis zur b) habe ich das Gronwallsche-Lemma und zur c) den Zwischenwertsatz zur Abbildung h.
Bei mir scheitert's leider schon bei der a) da ich nicht verstehe, wie ich jetzt genau zeigen soll, dass die Abbildung F wohldefiniert ist.
Wohldefiniertheit im allgemeinen verstehe ich schon.
Man muss eben prüfen, ob 2 unterschiedliche Repräsentanten auf gleich abgebildet werden. Aber wie mache ich das hier?
Ich habe mir noch überlegt, da f lipschitzstetig in u, muss doch laut der Lipschitz bedingung gelten, dass die partielle ableitung von f nach u durch ein L>0 beschränkt ist, oder?
Vielen vielen Dank
Liebe Grüße
Skinki
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 10:40 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Skunki |
Also ich habe mir nun nochmals Gedanken gemacht.
Die Wohldefiniertheit müsste man hier ja zeigen könne, indem man [mm] $\xi_1 ,\xi_2\in [/mm] [a,b]$ abbildet mit [mm] $\xi_1 [/mm] = [mm] \xi_2$ [/mm] und [mm] $F(\xi_1)=u_{\xi_1}=u_{\xi_2}=F(\xi_2)$ [/mm] zeigt, oder?
Aber ich verstehe nicht, wie ich das hier anstellen soll.
Ich habe die Abbildung ja gar nicht genau gegeben.
Muss ich hier mit einem Lösungsverfahren für AWP rangehen?
Vielen Dank
Liebe Grüße
Skunki
Edit:
Bringt es mir etwas, wenn ich das AWP 2. Ordnung auf ein AWP 1. Ordnung umschreibe, also:
[mm] $y_1:=u,\quad y_2:=u'$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{d}{dt}\pmat{y_1\\y_2}=\pmat{u'\\u''}=\pmat{y_2\\f(t,y_1)}$
[/mm]
Also das AWP: [mm] $\pmat{y_1\\y_2}(a)=\pmat{0\\ \xi}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 07.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 06.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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