AWP-unendliche viel Lösungen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 So 24.10.2010 | | Autor: | gollum13 |
| Aufgabe | Zeige, dass das folgende AWP unendliche viele Lösungen hat:
x'=x^(2/3) ; x(0)=0; t aus [mm] \IR [/mm]
Tipp: Versuche den Ansatz x(t) = a*t ^b mit a,b aus [mm]\IR [/mm] |
Hallo,
ich bin neu auf dem Gebiet der DGL und obige Aufgabe überfordert mich etwas. Was soll ich z.B. mit dem Tipp anfangen? Was nutzt mir die Info, dass x(t) so eine Struktur hat? Wie soll man hier vorgehen?
Für eure Hilfe wäre ich dankbar.
beste Grüße,
gollum13
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 So 24.10.2010 | | Autor: | l1f3x |
Hallo, einen solchen Ansatz für x(t) kannst du einfach in die DGL einsetzen und schauen, was sich dann für die Parameter a,b ergibt. Zudem muss natürlich noch die Anfangsbedingng [mm]x(0)=0[/mm] erfüllt werden. Bleibt dann noch ein Parameter unbestimmt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 So 24.10.2010 | | Autor: | gollum13 |
Ok, besten Dank.
Wenn ich das also mache, komme ich zu [mm] x'=x^{2/3}=(a*t^b)^{2/3}
[/mm]
und x'=ab*t^(b-1). Also [mm] (a*t^b)^{2/3}=ab*t^{b-1}. [/mm] Für t=0 ist das natürlich erfüllt und dann muß ich halt noch irgendwie etwas mehr aus der Gleichung herausziehen.
Ist das die Art des Lösens die du im Sinn hattest?
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Hallo gollum13,
> Ok, besten Dank.
>
> Wenn ich das also mache, komme ich zu
> [mm]x'=x^{2/3}=(a*t^b)^{2/3}[/mm]
> und x'=ab*t^(b-1). Also [mm](a*t^b)^{2/3}=ab*t^{b-1}.[/mm] Für t=0
> ist das natürlich erfüllt und dann muß ich halt noch
> irgendwie etwas mehr aus der Gleichung herausziehen.
Um die Gleichheit zu gewährleisten, müssen die
a) Exponenten
b) konstanten Faktoren
auf beiden Seiten gleich sein.
> Ist das die Art des Lösens die du im Sinn hattest?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Di 26.10.2010 | | Autor: | gollum13 |
D.h. [mm] a^2^/^3 = a*b [/mm] und [mm] b-1 = b*(2/3)[/mm]
dann ist b =3 und [mm] a^2^/^3 = a*b \gdw a^-^1^/^3 = 3 \gdw log a = -9 \gdw a = e^-^9[/mm]
und da ich nun jede beliebige Basis für den Logarithmus wählen kann gibts unendliche viele Lösungen.
Hab ich das schön gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Di 26.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> D.h. [mm]a^2^/^3 = a*b[/mm] und [mm]b-1 = b*(2/3)[/mm]
>
> dann ist b =3 und [mm]a^2^/^3 = a*b \gdw a^-^1^/^3 = 3 \gdw log a = -9 \gdw a = e^-^9[/mm]
>
>
> und da ich nun jede beliebige Basis für den Logarithmus
> wählen kann gibts unendliche viele Lösungen.
> Hab ich das schön gemacht?
Nein hast Du nicht. Da oben ist nur b=3 richtig. Rechne nochmal richtig und Du wirst feststellen, dass $a= [mm] \bruch{1}{27}$ [/mm] ist.
Dies führt auf die Lösung: $x(t)= [mm] \bruch{1}{27}t^3$ [/mm]
Jetzt wirst Du sagen: "dann hat das AWP ja nur eine Lösung ! Behauptet wurde aber, dass es unendlich viele Lösungen hat."
Dann sage ich: "$x [mm] \equiv [/mm] 0$ ist auch eine Lösung des AWPs"
Dann sagst Du: "jetzt haben wir 2 Lösungen, aber es sollen doch unendlich viele sein !"
So, was nun ? Das Problem liegt im Tipp: "Versuche den Ansatz x(t) = a*t ^b mit a,b aus $ [mm] \IR [/mm] $"
Dieser Tipp führt manchen in die Irre.
Wie kommt man mit dem Tipp auf unendlich viele Lösungen ?
So:
Wir haben: $x(t)= [mm] \bruch{1}{27}t^3$ [/mm] ist eine Lösung des AWPs.
So, nun fixiere mal ein positives s und definiere die Funktion [mm] x_s [/mm] durch
[mm] x_s(t) [/mm] = 0 , falls t<s und [mm] x_s(t)= \bruch{1}{27}(t-s)^3$ [/mm] , falls t [mm] \ge [/mm] s
Dann ist [mm] x_s [/mm] eine Lösung des AWPs.
Damit hat das AWP unendliche viele Lösungen [mm] x_s [/mm] (s>0)
Es gibt noch mehr Lösungen. Findest Du sie ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Di 26.10.2010 | | Autor: | gollum13 |
Ok, du verschiebst die Kurve entlang der Zeitachse und bekommst so unendlich viele Lösungen... darüber muß ich nochmal nachdenken, besten Dank für die Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Di 26.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok, du verschiebst die Kurve entlang der Zeitachse und
> bekommst so unendlich viele Lösungen...
Genau
> darüber muß ich
> nochmal nachdenken,
mach das
> besten Dank für die Hilfe.
keine Ursache
FRED
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