AWA nicht linearer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgenden Anfangswertaufgaben:
a) [mm] y'(x)+\bruch{y(x)}{x}-\bruch{x}{y^2(x)}=0, [/mm] y(1)=1
b) [mm] y'(x)+\bruch{1}{2}*y*y(x)+\bruch{x}{2*y(x)}=0, [/mm] y(0)=1
c) [mm] y'(x)=\bruch{ln(x)}{x}*y^2(x)-\bruch{1}{x}*y(x), [/mm] (i) y(1)=1, (ii) y(1)=0 |
Erstmal zur a) da habe ich folgendes raus, vielleicht kann das jemand auf Fehler überprüfen:
[mm] y'(x)+\bruch{y(x)}{x}-\bruch{x}{y^2(x)}=0-----(*3y^2)
[/mm]
=> [mm] (y^3)'+\bruch{3*y^2}{x}-3*x=0--------z=y^3
[/mm]
[mm] =>z'+\bruch{3*z}{x}-3*x
[/mm]
[mm] =>z'=-\bruch{3z}{x}+3x
[/mm]
Lösen der homogenen DGL:
[mm] z'=-\bruch{3z}{x}
[/mm]
....
[mm] z=c*e^{-3*ln(x)} [/mm] ,mit [mm] c\in \IR, x\in \IR_{+}
[/mm]
[mm] =>z=c*x^{-3}------ist [/mm] die Umformung und der Existenzbereich x>0 richtig?
[mm] =>z'=c'(x)*x^{-3}+c(x)*(-\bruch{3}{x^4})=3x-\bruch{3*c(x)}{x^4}
[/mm]
[mm] =>z'=c'(x)*x^{-3}=3*x
[/mm]
[mm] =>c'(x)=3x^4
[/mm]
[mm] =>c(x)=\bruch{3}{5}x^5+c_1 ,c_^\in \IR
[/mm]
[mm] =>z=(\bruch{3}{5}x^5+c_1)*x^{-3}
[/mm]
Ist die DGL damit richtig gelöst?
DANKE
[mm] =>y(x)=\wurzel[3]{(\bruch{3}{5}x^5+c_1)*x^{-3}}
[/mm]
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Hallo Peon,
> Lösen Sie die folgenden Anfangswertaufgaben:
> a) [mm]y'(x)+\bruch{y(x)}{x}-\bruch{x}{y^2(x)}=0,[/mm] y(1)=1
> b) [mm]y'(x)+\bruch{1}{2}*y*y(x)+\bruch{x}{2*y(x)}=0,[/mm] y(0)=1
> c) [mm]y'(x)=\bruch{ln(x)}{x}*y^2(x)-\bruch{1}{x}*y(x),[/mm] (i)
> y(1)=1, (ii) y(1)=0
> Erstmal zur a) da habe ich folgendes raus, vielleicht kann
> das jemand auf Fehler überprüfen:
>
> [mm]y'(x)+\bruch{y(x)}{x}-\bruch{x}{y^2(x)}=0-----(*3y^2)[/mm]
> => [mm](y^3)'+\bruch{3*y^2}{x}-3*x=0--------z=y^3[/mm]
> [mm]=>z'+\bruch{3*z}{x}-3*x[/mm]
> [mm]=>z'=-\bruch{3z}{x}+3x[/mm]
> Lösen der homogenen DGL:
> [mm]z'=-\bruch{3z}{x}[/mm]
> ....
> [mm]z=c*e^{-3*ln(x)}[/mm] ,mit [mm]c\in \IR, x\in \IR_{+}[/mm]
>
> [mm]=>z=c*x^{-3}------ist[/mm] die Umformung und der Existenzbereich
> x>0 richtig?
>
> [mm]=>z'=c'(x)*x^{-3}+c(x)*(-\bruch{3}{x^4})=3x-\bruch{3*c(x)}{x^4}[/mm]
> [mm]=>z'=c'(x)*x^{-3}=3*x[/mm]
> [mm]=>c'(x)=3x^4[/mm]
> [mm]=>c(x)=\bruch{3}{5}x^5+c_1 ,c_^\in \IR[/mm]
>
> [mm]=>z=(\bruch{3}{5}x^5+c_1)*x^{-3}[/mm]
>
> Ist die DGL damit richtig gelöst?
Allgemein ist die DGL richtig gelöst. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt musst Du nur noch die Anfangbedingung einsetzen,
um die Konstante [mm]c_{1}[/mm] zu bestimmen.
>
> DANKE
> [mm]=>y(x)=\wurzel[3]{(\bruch{3}{5}x^5+c_1)*x^{-3}}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Do 28.10.2010 | | Autor: | peeetaaa |
ich mache die aufgabe auch grade aber hab da mal eine frage:
1. woher weiß ich, dass ich die erste zeile mit $ [mm] (3y^2) [/mm] $ muliplizieren muss?
und 2. wenn ich das damit mulipliziere wie komme ich dann auf
$ [mm] (y^3)'+\bruch{3\cdot{}y^2}{x}-3\cdot{}x=0 [/mm] $
ich komme da irgendwie auf $ [mm] (3y^3)' [/mm] $ + $ [mm] \bruch{3y^3}{x} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{3y^2x}{y^2(x)} [/mm] $ =0
wäre cool wenn mir das jemand vllt erklären könnte...
gruß,
peeetaaa
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Hallo peeetaaa,
> ich mache die aufgabe auch grade aber hab da mal eine
> frage:
> 1. woher weiß ich, dass ich die erste zeile mit [mm](3y^2)[/mm]
> muliplizieren muss?
Ziel ist, daß der Ausdruck
[mm]\bruch{x}{y^{2}[/mm]
durch Multiplikation mit einem geeigneten Faktor
zu einem Ausdruck wird, der nicht mehr von y abhängt.
> und 2. wenn ich das damit mulipliziere wie komme ich dann
> auf
> [mm](y^3)'+\bruch{3\cdot{}y^2}{x}-3\cdot{}x=0[/mm]
> ich komme da irgendwie auf [mm](3y^3)'[/mm] + [mm]\bruch{3y^3}{x}[/mm] -
> [mm]\bruch{3y^2x}{y^2(x)}[/mm] =0
Es handelt sich um diese DGL:
[mm]y'+ \bruch{1}{x}*y-x*\bruch{1}{y^{2}}=0[/mm]
Multiplikation mit [mm]3*y^{2}[/mm] ergibt zunächst:
[mm]3*y^{2}*y'+ \bruch{1}{x}*3*y^{2}*y-x*\bruch{1}{y^{2}}*3*y^{2}=0[/mm]
[mm]\gdw 3*y^{2}*y'+ \bruch{3}{x}*y^{3}-3*x=0[/mm]
Da [mm]3*y^{2}*y'=\left(y^{3}\right)'[/mm] kann die neue DGL
auch so geschrieben werden:
[mm]\left( y^{3} \right)'+ \bruch{3}{x}*y^{3}-3*x=0[/mm]
>
> wäre cool wenn mir das jemand vllt erklären könnte...
> gruß,
> peeetaaa
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Do 28.10.2010 | | Autor: | peeetaaa |
danke für die tolle erklärung aber um ehrlich zu sein habe ich noch nicht ganz verstanden warum [mm] 3\cdot{}y^{2}\cdot{}y'=\left(y^{3}\right)' [/mm] sein soll...
wie kommt man denn dadrauf? was wurde da denn gerechnet bzw. betrachtet?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Do 28.10.2010 | | Autor: | Peon |
> danke für die tolle erklärung aber um ehrlich zu sein
> habe ich noch nicht ganz verstanden warum
> [mm]3\cdot{}y^{2}\cdot{}y'=\left(y^{3}\right)'[/mm] sein soll...
> wie kommt man denn dadrauf? was wurde da denn gerechnet
> bzw. betrachtet?
das habe ich auch noch nicht so ganz vestanden :) es passt halt immer. man sieht ja, dass [mm] 3y^2 [/mm] die Ableitung von [mm] y^3 [/mm] ist, aber wie man das formal richtig aufschreibt, zumal man da ja so ein komsiches Produkt hat, weiß ich auch nicht.
Habe jetzt die c) gerechnet und ein Problem, hier mal meine Rechnung:
[mm] y'(x)+\bruch{1}{x}y(x)-\bruch{ln(x)}{x}*y^2(x)=0------(multipliziere [/mm] mit [mm] -y^{-2})
[/mm]
[mm] =>-y^{-2}(y'(x))-\bruch{1}{x}*y^{-1}(x)+\bruch{ln(x)}{x}=0------(hier [/mm] ist wieder dieses komische Produkt..., subst. mit [mm] z=\bruch{1}{y})
[/mm]
[mm] =>(\bruch{1}{y})'-\bruch{1}{x}*z+\bruch{ln(x)}{x}=0
[/mm]
[mm] =>z'=\bruch{1}{x}*z-\bruch{ln(x)}{x}
[/mm]
Hier kann man jetzt wieder über Variation der Konstanten die homogene DGL betrachten, daraus folgt dann:
[mm] z'=\bruch{1}{x}*z ,x\not=0
[/mm]
[mm] =>\integral{\bruch{1}{z}dz}=\integral{\bruch{1}{x}dx}
[/mm]
=>ln{z}=ln{x}+c , c [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] =>z=c_1*x
[/mm]
=> [mm] z'=c'_1(x)*x+c_1(x)
[/mm]
....
[mm] =>c_1(x)=-x*ln(x)+x+c_2 ,c_2 \in \IR
[/mm]
einsetzen...
[mm] z=-x^{2}*ln(x)+x^2+c_2*x
[/mm]
Resubstitution liefert:
[mm] y(x)=-\bruch{1}{x^2*ln(x)+x^2+c_2*x}
[/mm]
AWA mit y(1)=1 liefert:
[mm] y(1)=-\bruch{1}{1+c_2}=1
[/mm]
=>c=-2
AWA mit y(1)=0 ist nicht lösbar, da
[mm] -\bruch{1}{1+c_2}=0 [/mm] nicht lösbar ist, oder?
Ist das so richtig? Ich habe manchmal ein paar Bedingungn vergessen, wie [mm] y(x)\not= [/mm] 0 oder so, aber der Rest?
Danke
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Hallo Peon,
> > danke für die tolle erklärung aber um ehrlich zu sein
> > habe ich noch nicht ganz verstanden warum
> > [mm]3\cdot{}y^{2}\cdot{}y'=\left(y^{3}\right)'[/mm] sein soll...
> > wie kommt man denn dadrauf? was wurde da denn gerechnet
> > bzw. betrachtet?
>
> das habe ich auch noch nicht so ganz vestanden :) es passt
> halt immer. man sieht ja, dass [mm]3y^2[/mm] die Ableitung von [mm]y^3[/mm]
> ist, aber wie man das formal richtig aufschreibt, zumal man
> da ja so ein komsiches Produkt hat, weiß ich auch nicht.
>
> Habe jetzt die c) gerechnet und ein Problem, hier mal meine
> Rechnung:
>
> [mm]y'(x)+\bruch{1}{x}y(x)-\bruch{ln(x)}{x}*y^2(x)=0------(multipliziere[/mm]
> mit [mm]-y^{-2})[/mm]
>
> [mm]=>-y^{-2}(y'(x))-\bruch{1}{x}*y^{-1}(x)+\bruch{ln(x)}{x}=0------(hier[/mm]
> ist wieder dieses komische Produkt..., subst. mit
> [mm]z=\bruch{1}{y})[/mm]
> [mm]=>(\bruch{1}{y})'-\bruch{1}{x}*z+\bruch{ln(x)}{x}=0[/mm]
> [mm]=>z'=\bruch{1}{x}*z-\bruch{ln(x)}{x}[/mm]
>
> Hier kann man jetzt wieder über Variation der Konstanten
> die homogene DGL betrachten, daraus folgt dann:
> [mm]z'=\bruch{1}{x}*z ,x\not=0[/mm]
>
> [mm]=>\integral{\bruch{1}{z}dz}=\integral{\bruch{1}{x}dx}[/mm]
> =>ln{z}=ln{x}+c , c [mm]\in \IR[/mm]
> [mm]=>z=c_1*x[/mm]
> => [mm]z'=c'_1(x)*x+c_1(x)[/mm]
> ....
> [mm]=>c_1(x)=-x*ln(x)+x+c_2 ,c_2 \in \IR[/mm]
Hier habe ich etwas anderes heraus.
> einsetzen...
> [mm]z=-x^{2}*ln(x)+x^2+c_2*x[/mm]
> Resubstitution liefert:
> [mm]y(x)=-\bruch{1}{x^2*ln(x)+x^2+c_2*x}[/mm]
>
> AWA mit y(1)=1 liefert:
> [mm]y(1)=-\bruch{1}{1+c_2}=1[/mm]
> =>c=-2
>
> AWA mit y(1)=0 ist nicht lösbar, da
> [mm]-\bruch{1}{1+c_2}=0[/mm] nicht lösbar ist, oder?
>
> Ist das so richtig? Ich habe manchmal ein paar Bedingungn
> vergessen, wie [mm]y(x)\not=[/mm] 0 oder so, aber der Rest?
> Danke
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Fr 29.10.2010 | | Autor: | Peon |
Habe einen Fehler in der Umformung gemacht und ein x ging verloren :) habe nachgerechnet und komme auf:
[mm] c(x)=\bruch{ln(x)+1}{x} [/mm] daraus folgt dann der Rest entsprechend...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Fr 29.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was ist die Frage? bitte mitteilungen nicht als Frage formulieren.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Fr 29.10.2010 | | Autor: | Peon |
Sorry, wollte nur wissen, ob das richtig ist. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mo 01.11.2010 | | Autor: | peeetaaa |
wenn ich [mm] c(x)=\bruch{ln(x)+1}{x} [/mm] +d raus kriege muss ich das c(x) doch wieder in
z(x)= x* c(x) einsetzen
->> z(x)= [mm] c(x)=(\bruch{ln(x)+1}{x}+d)*x
[/mm]
--> z(x)=ln(x)+1 +dx
dann z(x) einsetzen in [mm] z(x)=\bruch{1}{y}
[/mm]
--> [mm] y(x)=\bruch{1}{ln(x)+1+dx}
[/mm]
stimmt das so?
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Hallo peeetaaa,
> wenn ich [mm]c(x)=\bruch{ln(x)+1}{x}[/mm] +d raus kriege muss ich
> das c(x) doch wieder in
> z(x)= x* c(x) einsetzen
> ->> z(x)= [mm]c(x)=(\bruch{ln(x)+1}{x}+d)*x[/mm]
> --> z(x)=ln(x)+1 +dx
>
> dann z(x) einsetzen in [mm]z(x)=\bruch{1}{y}[/mm]
> --> [mm]y(x)=\bruch{1}{ln(x)+1+dx}[/mm]
>
> stimmt das so?
Ja.
Gruss
MathePower
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Hallo peeetaaa,
> danke für die tolle erklärung aber um ehrlich zu sein
> habe ich noch nicht ganz verstanden warum
> [mm]3\cdot{}y^{2}\cdot{}y'=\left(y^{3}\right)'[/mm] sein soll...
> wie kommt man denn dadrauf? was wurde da denn gerechnet
> bzw. betrachtet?
Hier wurde die Kettenregel auf [mm]\left( \ y\left(x\right) \ \right)^{3}[/mm] angewendet.
Gruss
MathePower
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Edit: sorry, habe Mathepowers Antwort übersehen ...
Hallo Peter,
> danke für die tolle erklärung aber um ehrlich zu sein
> habe ich noch nicht ganz verstanden warum
> [mm]3\cdot{}y^{2}\cdot{}y'=\left(y^{3}\right)'[/mm] sein soll...
> wie kommt man denn dadrauf? was wurde da denn gerechnet
> bzw. betrachtet?
Na, du musst beim Ableiten doch die Kettenregel anwenden!
[mm]y^3=(y(x))^3[/mm]
Also [mm]\left(y^3\right)'=\underbrace{3\cdot{}(y(x))^{3-1}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot{}\underbrace{y'(x)}_{\text{innere Abl.}}=3y^2y'[/mm]
LG
schachuzipus
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