A^T * A symm. & pos. semidefin < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Fr 01.11.2019 | | Autor: | NathanR |
| Aufgabe | Für die Matrix $A [mm] \in \mathbb{R}^{n \times n}$ [/mm] mit $m [mm] \ge [/mm] n$ ist die Matrix [mm] $A^{T} \cdot [/mm] A [mm] \in \mathbb{R}^{n \times n}$ [/mm] stets symmetrisch und positiv semi-definit.
Im Fall $Rang(A) = n$ ist [mm] $A^{T} \cdot [/mm] A$ sogar positiv definit. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, liebe Matheraum - Community!
Ich habe Probleme, die obige Aufgabe zu lösen. Seit gestern sitze ich vor dieser Aufgabe und suche nach einen klügeren Weg, die Aufgabe zu lösen.
Mein Ansatz war folgender (ist nicht viel):
__________________________________________
Behauptung 1:
Matrix [mm] $A^{T} \cdot [/mm] A [mm] \in \mathbb{R}^{n \times n}$ [/mm] stets symmetrisch und positiv semi-definit.
Beweis:
Es gilt [mm] $(A^{T} \cdot A)^{T} [/mm] = [mm] A^{T} \cdot \left ( A^{T} \right )^{T} [/mm] = [mm] A^{T} \cdot [/mm] A$.
Damit ist die Matrix [mm] $A^{T} \cdot [/mm] A$ stets symmetrisch.
Nun zur positiven Semidefinitheit.
Dafür muss ja gelten: [mm] $\langle [/mm] x, [mm] (A^{T} \cdot [/mm] A) x [mm] \rangle \ge [/mm] 0 $.
Da $A [mm] \in \mathbb{R}^{m \times n}$ [/mm] und [mm] $A^{T} \in \mathbb{R}^{n \times m}$ [/mm] ist [mm] $A^{T} \dot [/mm] A [mm] \in \mathbb{R}^{n \times n}$
[/mm]
Wenn ich das Skalarprodukt nun konkret aufschreibe, erhalte ich:
[mm] \langle [/mm] x, [mm] (A^{T} \cdot [/mm] A) x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \left \langle \left(\begin{array}{c}x_{1}\\\ldots \\ x_{n}\end{array}\right), \left( \begin{array}{rrrr}
a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots\\
a_{m1} & \ldots & a_{nn} \\
\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}x_{1}\\\ldots \\ x_{n}\end{array}\right) \right \rangle [/mm] = [mm] \left \langle \left(\begin{array}{c}x_{1}\\\ldots \\ x_{n}\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}\sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j}\\\ldots \\ \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{nj} x_{j}\end{array}\right) \right \rangle [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 1}^{n} x_{j} \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{ij} x_{j}$
[/mm]
Aber ich komme nicht darauf, zu zeigen, dass die ganze Summe größer gleich 0 ist...
Kann mir da jemand helfen? Würde mich freuen.
mfg,
NathanR
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Hiho,
es gilt: $<x,Ay> = x^TAy = (A^Tx)^Ty = <A^Tx,y>$
Daraus folgt sofort: $<x,A^TAx> = <Ax,Ax> [mm] \ge [/mm] 0$
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Fr 01.11.2019 | | Autor: | NathanR |
Hi!
> Hiho,
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> es gilt: [mm] = x^TAy = (A^Tx)^Ty = [/mm]
>
> Daraus folgt sofort: [mm] = \ge 0[/mm]
>
> Gruß,
> Gono
Okay, die Folgerung verstehe ich. Wenn man $y = Ax$ setzt, dann hat man:
[mm] $
und wegen der Definitheit des Skalarprodukts ist $<Ax,Ax> [mm] \ge [/mm] 0$.
Ich habe nur zwei kurze Fragen dazu:
Es gilt $<x,Ay> = x^TAy$. Aber kann ich auch $<x,Ay> = [mm] $ [/mm] schreiben? Ist ja das gleiche.
Und warum gilt [mm] $x^{T} \cdot [/mm] Ay = [mm] (x^{T} [/mm] A) [mm] \cdot [/mm] y$?
Um den Fall $Rang(A) = n$ kümmere ich mich noch mal jetzt. Ich melde mich noch mal, wenn ich nicht weiter komme.
Danke für deine Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Fr 01.11.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
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> > Hiho,
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> > es gilt: [mm] = x^TAy = (A^Tx)^Ty = [/mm]
> >
> > Daraus folgt sofort: [mm] = \ge 0[/mm]
> >
> > Gruß,
> > Gono
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> Okay, die Folgerung verstehe ich. Wenn man [mm]y = Ax[/mm] setzt,
> dann hat man:
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> [mm] = x^T A^{T} y = (Ax)^Ty = = [/mm]
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> und wegen der Definitheit des Skalarprodukts ist [mm] \ge 0[/mm].
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> Ich habe nur zwei kurze Fragen dazu:
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> Es gilt [mm] = x^TAy[/mm]. Aber kann ich auch [mm] = [/mm]
> schreiben? Ist ja das gleiche.
Nein, das rechte Skalarprodukt macht keinen Sinn , es steht ein Spaltenvektor und ein Zeilenvektor drin.
>
>
> Und warum gilt [mm]x^{T} \cdot Ay = (x^{T} A) \cdot y[/mm]?
Das kannst Du doch locker nachrechnen.
>
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> Um den Fall [mm]Rang(A) = n[/mm] kümmere ich mich noch mal jetzt.
> Ich melde mich noch mal, wenn ich nicht weiter komme.
>
> Danke für deine Hilfe!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Fr 01.11.2019 | | Autor: | NathanR |
> > Es gilt [mm] = x^TAy[/mm]. Aber kann ich auch [mm] = [/mm]
> > schreiben? Ist ja das gleiche.
>
> Nein, das rechte Skalarprodukt macht keinen Sinn , es
> steht ein Spaltenvektor und ein Zeilenvektor drin.
> >
> >
> > Und warum gilt [mm]x^{T} \cdot Ay = (x^{T} A) \cdot y[/mm]?
>
> Das kannst Du doch locker nachrechnen.
> >
> >
> > Um den Fall [mm]Rang(A) = n[/mm] kümmere ich mich noch mal jetzt.
> > Ich melde mich noch mal, wenn ich nicht weiter komme.
> >
> > Danke für deine Hilfe!
Okay, das ist mir jetzt klar. Vielen Dank für den Hinweis!
Nun zum zweiten Fall.
Dazu habe ich eine hoffentlich richtige Lösung dazu.
Behauptung
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Sei $A [mm] \in \mathbb{R}^{m \times n}$.
[/mm]
Wenn $Rang(A) = n$, dann ist [mm] $A^{T} \cdot [/mm] A$ sogar positiv definit-
Beweis
______
Sei $A [mm] \in \mathbb{R}^{m \times n}$ [/mm] . Dann ist [mm] $A^{T} \in \mathbb{R}^{n \times m}$ [/mm] und damit [mm] $A^{T} \cdot [/mm] A [mm] \in \mathbb{R}^{m \times m}$
[/mm]
Sei $x [mm] \in \mathbb{R}^{m \times 1} [/mm] = [mm] \mathbb{R}^{m}$.
[/mm]
Da $Rang(A) = n$ gilt, dann hat $A$ vollen Spaltenrang. Die zugehörige lineare Abbildung [mm] $\delta: \mathbb{K}^{n} \rightarrow \mathbb{K}^{m}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] Ax$ ist damit injektiv.
Das heißt, dass [mm] $Ker(\delta) [/mm] = [mm] \{ 0 \}$. [/mm] Also existiert kein Vektor $x [mm] \neq [/mm] 0$ mit $Ax = 0$.
Vorhin haben wir herausbekommen, dass [mm] $\langle [/mm] x, [mm] A^{T} \cdot [/mm] A [mm] \cdot [/mm] x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] Ax, A x [mm] \rangle \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in \mathbb{R}^{m} \setminus \{ 0 \}$. [/mm]
Da aber kein Vektor $x [mm] \neq [/mm] 0$ existiert mit $Ax = 0$, gilt [mm] $\langle [/mm] x, [mm] A^{T} \cdot [/mm] A [mm] \cdot [/mm] x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] Ax, A x [mm] \rangle [/mm] > 0$ für alle $x [mm] \in \mathbb{R}^{m} \setminus \{ 0 \}$. [/mm]
Also ist [mm] $A^{T} \cdot [/mm] A$ positiv definit. Passt das so?
mfg, NathanR
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Hiho,
vorweg: Deine Beweisidee ist ok, dein Aufschrieb hat Fehler.
> Sei [mm]A \in \mathbb{R}^{m \times n}[/mm] . Dann ist [mm]A^{T} \in \mathbb{R}^{n \times m}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und damit [mm]A^{T} \cdot A \in \mathbb{R}^{m \times m}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es gilt [mm]A^{T} \cdot A \in \mathbb{R}^{n \times n}[/mm]
> Sei [mm]x \in \mathbb{R}^{m \times 1} = \mathbb{R}^{m}[/mm].
Ein Spaltenvektor aus [mm] $x\in \mathbb{R}^{m}$ [/mm] hat m Zeilen. Wie willst du den mit einer Matrix multiplizieren, die n Spalten hat?
Später schreibst du selbst:
> Die zugehörige lineare Abbildung [mm]\delta: \mathbb{K}^{n} \rightarrow \mathbb{K}^{m}, x \mapsto Ax[/mm]
d.h. die Abbildung bildet doch aus dem [mm] $\IR^n$ [/mm] ab, d.h. deine Definitionsmenge sind Spaltenvektoren mit n Zeilen!
Im Übrigen: Was soll nun plötzlich [mm] $\mathbb{K}$ [/mm] sein?
Zu einem sauberen Aufschrieb gehört auch, dort die richtigen Symbole einzusetzen.
Der Rest von deinem Beweis stimmt.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Sa 02.11.2019 | | Autor: | NathanR |
Okay, super. Habe jetzt die Aufgabe verstanden.
Ich bedanke mich bei dir und bei Fred. Habt mir beide sehr geholfen!
Wünsche euch einen schönen Tag noch!
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