A+A^T positiv definit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei A [mm] \in Mat_{n \times n}(\IR). [/mm] Beweisen Sie: Genau dann gilt [mm] x^{T}Ax [/mm] > 0 für alle $ x [mm] \in \IR^n \setminus\{0\} [/mm] $, wenn [mm] A+A^T [/mm] positiv definit ist. |
Hey,
so eine ähnliche Frage hatte ich letztens schonmal. Scheinbar blicke ich noch immer nicht durch die Sache durch. Ich muss ja die Äquivalenz zeigen:
[mm] x^{T}Ax [/mm] > 0 [mm] \Rightarrow x^{T}(A+A^T)x [/mm] > 0 [mm] \forall x\in\IR^n \setminus\{0\} [/mm] und
[mm] x^{T}(A+A^T)x [/mm] > 0 [mm] \Rightarrow x^{T}Ax [/mm] > 0 [mm] \forall x\in\IR^n \setminus\{0\}.
[/mm]
Ich habe bis jetzt heraus gefunden, dass [mm] A+A^T [/mm] immer symmetrisch ist, hilft mir das hier weiter?
Danke für Eure Hilfe.
Gruß Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Di 22.04.2008 | | Autor: | Blech |
Die Lösung:
[mm] x^{T}(A+A^T)x = x^tAx+x^tA^tx= 2x^tAx[/mm]
Deine Aufgabe ist nun, mir zu erzählen, warum das gilt =)
> Ich habe bis jetzt heraus gefunden, dass [mm]A+A^T[/mm] immer
> symmetrisch ist, hilft mir das hier weiter?
Für den Beweis speziell nicht. Es ist aber der Grund, daß man sich den Satz überlegt hat. Häufig ist es leichter, Dinge für symmetrische Matrizen zu zeigen (bzw. irgendwelche Operationen durchzuführen), als für allgemeine.
Wenn Du also einen Algorithmus hast, der Dir für symmetrische Matrizen A sagen kann, ob sie positiv definit ist (z.B. über den Trägheitssatz von Sylvester und die Eigenwerte), kannst Du Dir über [mm] $(A+A^t)$ [/mm] eine symmetrische Matrix konstruieren und erfährst damit dann, ob die urspr. Matrix positiv definit war.
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Hey, danke dir!
> Die Lösung:
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> [mm]x^{T}(A+A^T)x = x^tAx+x^tA^tx= 2x^tAx[/mm]
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> Deine Aufgabe ist nun, mir zu erzählen, warum das gilt =)
>
Ok, also die erste Gleichheit ist klar, das ist ja einfach nur ausmultipliziert. Aber warum dann die zweite Gleichheit gilt kann ich nicht nachvollziehen, denn einmal hab ich ja A und einmal [mm] A^t!?
[/mm]
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> > Ich habe bis jetzt heraus gefunden, dass [mm]A+A^T[/mm] immer
> > symmetrisch ist, hilft mir das hier weiter?
>
> Für den Beweis speziell nicht. Es ist aber der Grund, daß
> man sich den Satz überlegt hat. Häufig ist es leichter,
> Dinge für symmetrische Matrizen zu zeigen (bzw.
> irgendwelche Operationen durchzuführen), als für
> allgemeine.
> Wenn Du also einen Algorithmus hast, der Dir für
> symmetrische Matrizen A sagen kann, ob sie positiv definit
> ist (z.B. über den Trägheitssatz von Sylvester und die
> Eigenwerte), kannst Du Dir über [mm](A+A^t)[/mm] eine symmetrische
> Matrix konstruieren und erfährst damit dann, ob die urspr.
> Matrix positiv definit war.
Danke für die Info!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Di 22.04.2008 | | Autor: | Blech |
> Hey, danke dir!
>
> > Die Lösung:
> >
> > [mm]x^{T}(A+A^T)x = x^tAx+x^tA^tx= 2x^tAx[/mm]
> >
> > Deine Aufgabe ist nun, mir zu erzählen, warum das gilt =)
> >
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> Ok, also die erste Gleichheit ist klar, das ist ja einfach
> nur ausmultipliziert. Aber warum dann die zweite Gleichheit
> gilt kann ich nicht nachvollziehen, denn einmal hab ich ja
> A und einmal [mm]A^t!?[/mm]
Deswegen sollst Du Dir ja überlegen, wieso man den Ausdruck einfach transponieren kann.
Wie schaut denn $x^tAx$ aus? Allgemein oder an einem Beispiel. =)
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> > Hey, danke dir!
> >
> > > Die Lösung:
> > >
> > > [mm]x^{T}(A+A^T)x = x^tAx+x^tA^tx= 2x^tAx[/mm]
> > >
> > > Deine Aufgabe ist nun, mir zu erzählen, warum das gilt =)
> > >
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> > Ok, also die erste Gleichheit ist klar, das ist ja einfach
> > nur ausmultipliziert. Aber warum dann die zweite Gleichheit
> > gilt kann ich nicht nachvollziehen, denn einmal hab ich ja
> > A und einmal [mm]A^t!?[/mm]
>
> Deswegen sollst Du Dir ja überlegen, wieso man den Ausdruck
> einfach transponieren kann.
>
> Wie schaut denn [mm]x^tAx[/mm] aus? Allgemein oder an einem
> Beispiel. =)
Also [mm] x^{t}Ax [/mm] ist ja [mm] \in\IR. x^{t}A^{t}x [/mm] natürlich auch. Ich hab das auch mal an einem Beispiel ausgerechnent. Es kommt das gleiche raus. Aber ich kann nicht nachvollziehen warum das so ist. :-(
Was mir grad noch eingefallen ist, ich weiß nicht ob es damit zu tun hat.
Ich kann ja [mm] x^{t}Ax [/mm] entweder [mm] (x^{t}A)x [/mm] so berechnen oder auch so: [mm] x^{t}(Ax). [/mm] Und wenn jetzt jetzt [mm] A^t [/mm] nehme, vertauschen sich dann nicht einfach nur die Möglichkeiten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Di 22.04.2008 | | Autor: | Blech |
> Also [mm]x^{t}Ax[/mm] ist ja [mm]\in\IR. x^{t}A^{t}x[/mm] natürlich auch. Ich
> hab das auch mal an einem Beispiel ausgerechnent. Es kommt
> das gleiche raus. Aber ich kann nicht nachvollziehen warum
> das so ist. :-(
Weil eine relle Zahl transponiert immer noch die gleiche reelle Zahl ist:
[mm] $y\in\IR\ \Rightarrow\ y=y^t$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \underbrace{x^tAx}_{=:y}=(x^tAx)^t [/mm] = x^tA^tx$
> Was mir grad noch eingefallen ist, ich weiß nicht ob es
> damit zu tun hat.
> Ich kann ja [mm]x^{t}Ax[/mm] entweder [mm](x^{t}A)x[/mm] so berechnen oder
> auch so: [mm]x^{t}(Ax).[/mm] Und wenn jetzt jetzt [mm]A^t[/mm] nehme,
> vertauschen sich dann nicht einfach nur die Möglichkeiten?
Hier betrachtest Du das von oben für zwei Vektoren:
[mm] $y\in\IR^n,\ x\in\IR^n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ [/mm] y^tx=x^ty$
In dem Fall mit $y:=Ax$. =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Di 22.04.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Hey, dankeschön ich habe es jetzt ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß Patrick
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