9.Kl Gym S.209 Nr 27 Begründe < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:00 Mi 06.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | | Begründe, dass man die cos-Fkt. durch eine geeignete Verschiebung der sin-Fkt. darstellen kann. |
f(x)=a*cos(bx+c)+d
Zur Lösung der Aufg. muss man mit dem c in der Klammer arbeiten.
$ [mm] \bruch [/mm] {3pi} {2} $ um diese menge verschoben,
egal, ob nach links oder rechts, sind die Kurven deckungsgleich.
Also
g(x)= cos x - $ [mm] \bruch [/mm] {3pi} {2} $ = sin x
oder
g(x)= cos x + $ [mm] \bruch [/mm] {3pi} {2} $ = sin x
BEGRÜNDUNG:
Das geht, weil a, b, c u. d von sin u. cos gleich sind.
Mehr kann ich dazu nicht sagen. Ist das die Begründung? Reicht das?
Und noch eine weitere Frage bitte:
Auf c= $ [mm] \bruch [/mm] {3pi} {2} $ bin ich eben gekommen mit Pauschpapier drüber, das ich dann verschoben habe. Aber es muss doch auch möglich sein, wenn man $ [mm] \bruch [/mm] {3pi} {2} $ nicht ablesen kann, c auch theoretisch zu ermitteln.
meine Überlegungen dazu:
cos(x+c)=sin x
Aber wie löse ich jetzt diese Gleichung?
Hoffe es ist nicht zu kompliziert, das zu erklären.
Und ich hoffe es ist auch noch jmd. hier unterwegs, der erklären mag.
Schon mal vielen Dank im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:19 Mi 06.10.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo Giraffe,
> Begründe, dass man die cos-Fkt. durch eine geeignete
> Verschiebung der sin-Fkt. darstellen kann.
> f(x)=a*cos(bx+c)+d
> Zur Lösung der Aufg. muss man mit dem c in der Klammer
> arbeiten.
> [mm]\bruch {3pi} {2}[/mm] um diese menge verschoben,
> egal, ob nach links oder rechts, sind die Kurven
> deckungsgleich.
> Also
> g(x)= cos x - [mm]\bruch {3pi} {2}[/mm] = sin x
Wenn du hier noch die Klammern richtig setzt, stimmt das.
> oder
> g(x)= cos x + [mm]\bruch {3pi} {2}[/mm] = sin x
Das stimmt so nicht. Mit den richtigen Klammern ist das gleich [mm]-\sin(x)[/mm]. Alternativ kannst du schreiben: [mm]\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin(x)[/mm].
> BEGRÜNDUNG:
> Das geht, weil a, b, c u. d von sin u. cos gleich sind.
>
> Mehr kann ich dazu nicht sagen. Ist das die Begründung?
> Reicht das?
Na ja, das c ist ja eben nicht gleich. Du verschiebst ja den Graphen... Wie sind denn Sinus und Kosinus eingeführt worden? Bzw. wie wurden die Graphen ermittelt? Ich würde mich daran orientieren und folgern, dass die Graphen auseinander durch eine Verschiebung hervorgehen.
>
> Und noch eine weitere Frage bitte:
> Auf c= [mm]\bruch {3pi} {2}[/mm] bin ich eben gekommen mit
> Pauschpapier drüber, das ich dann verschoben habe. Aber es
> muss doch auch möglich sein, wenn man [mm]\bruch {3pi} {2}[/mm]
> nicht ablesen kann, c auch theoretisch zu ermitteln.
>
> meine Überlegungen dazu:
> cos(x+c)=sin x
> Aber wie löse ich jetzt diese Gleichung?
> Hoffe es ist nicht zu kompliziert, das zu erklären.
> Und ich hoffe es ist auch noch jmd. hier unterwegs, der
> erklären mag.
> Schon mal vielen Dank im voraus!
Es kommt darauf an, welche Mittel dir zur Verfügung stehen. Sagen dir die Additionstheoreme was? Es gilt [mm]\cos(x+c)=\cos(x)\cos(c)+\sin(x)\sin(c)[/mm]. Du erhältst die gesuchte Gleichheit, wenn du ein c findest mit [mm] $\cos(c)=0$ [/mm] und [mm] $\sin(c)=1$.
[/mm]
Sollest du die Additionstheoreme nicht kennen, bleibt dir wohl nur der geometrische Weg mit dem Verschiebungsargument.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Mi 06.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Fulla,
> > Hallo Giraffe,
> > Begründe, dass man die cos-Fkt. durch eine geeignete
> > Verschiebg der sin-Fkt. darstellen kann.
> > f(x)=a*cos(bx+c)+d
> > Zur Lösg der Aufg. muss man mit dem c arbeiten.
> > [mm]\bruch {3pi} {2}[/mm] um diese menge verschoben,
> > egal, ob nach links oder rechts, sind die Kurven
> > deckungsgleich. Also
> > g(x)= cos(x -[mm]\bruch {3pi} {2}[/mm]) = sin x
> > oder
> > g(x)= cos(x +[mm]\bruch {3pi} {2}[/mm]) = sin x
> Das stimmt so nicht. Richtig aber ist:
> g(x)= cos(x -[mm]\bruch {3pi} {2}[/mm]) = -sin x
> oder
> g(x)= cos(x +[mm]\bruch {3pi} {2}[/mm]) = -sin x
Warum das? Warum -sin x? Ich weiß leider nicht, wie die -sin x aussieht u. meinen Plotter habe ich gerade zerschossen u. keinen Grafik-TR.
> Alternativ kannst du schreiben:
> [mm]\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin(x)[/mm].
Das verstehe ich auch leider nicht.
> > BEGRÜNDUNG: Das geht, weil a, b, c u. d von sin u. cos gleich
> > sind. Ist das die Begründung?
> Na ja, das c ist ja eben nicht gleich.
Oh sorry, da habe ich geschlunzt.
> Wie sind denn Sinus und Kosinus eingeführt worden?
Gar nicht. Ich bin dabei, es mir selbst beizubringen (mit eurer Unterstützg.). Hab hier 3,4 Mathebücher u. überall sin u. cos nachgeschlagen und mich in Trigonometrie und Einh.-Kreis eingelesen u. auch vieles gegoogelt u. natürlich viele Antworten hier im Matheraum bekommen.
> Bzw. wie wurden die Graphen ermittelt?
Ich wußte aus Büchern wie die Kurven ungefähr aussehen. Und ich habe sie auch gezeichnet (u. dem Kreuz mit dem Tasch.Rechn., wegen Bogen- u. Gradmaß, bzw. der Umstellg., tja, wenn man das nicht weiß, dann stehen die Haare zu Berge)
> Ich würde mich daran orientieren und folgern, dass die Graphen
> auseinander durch eine Verschiebung hervorgehen.
Was heißt das? Ja, irgendwie hängen die Kurven zus., bzw. sind gleich, wenn eine nicht um 90° verschoben wäre.
> .... daran orientieren, dass die Graphen auseinander durch eine Verschiebung hervorgehen.
Was meinst du mit auseinander?
> > Wie kann ich es theoretisch ermitteln, um wieviel sin u. cos
> > verschoben sind? Wie löse ich cos(x+c)=-sin x
> Es kommt darauf an, welche Mittel dir zur Verfügung stehen. Sagen
> dir die Additionstheoreme was?
Nee, nicht so. Mit Kettenregel u. ableiten hat das nix zu tun oder?
> Es gilt
> [mm]\cos(x+c)=\cos(x)\cos(c)+\sin(x)\sin(c)[/mm]. Du erhältst die
> gesuchte Gleichheit, wenn du ein c findest mit [mm]\cos(c)=0[/mm]
> und [mm]\sin(c)=1[/mm].
> Sollest du die Additionstheoreme nicht kennen, bleibt dir
> wohl nur der geometrische Weg mit dem
> Verschiebungsargument.
>
> Lieben Gruß,
> Fulla
Begründe, dass man die cos-Fkt. durch eine geeignete Verschiebung der sin-Fkt. darstellen kann.
Das möchte ich nochmal versuchen mit Klammern u. mit dem noch ominösen Minus vor dem sin. Warum Minus?
Und warum sind
cos(x -[mm]\bruch {3pi} {2}[/mm]) = -sin x
und
$ [mm] \cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin(x) [/mm] $
gleich oder sagen dasselbe aus?
Für erneute und nochmalige Auskunft vielen DANK
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Mi 06.10.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo Giraffe,
Skizziere dir mal den Einheitskreis und einen Punkt darauf im 1. Quadranten.
Verbinde ihn mit dem Ursprung, es entsteht ein Winkel [mm] \alpha [/mm] .
Fälle nun von dem Punkt das Lot auf die waagerechte Achse.
Das entstehende Dreieck hat die Seitenlängen cos [mm] \alpha, [/mm] sin [mm] \alpha [/mm] und 1.
Jetzt kommt es: Vergrößere den Winkel [mm] \alpha [/mm] um 90° auf [mm] 90°+\alpha.
[/mm]
Dazu musst du nur die Dreieckseiite mit der Länge 1 um 90° entgegen dem Uhrzeigersinn drehen. Und wenn du das einmal tust, kannst du auch dein gesamtes rechtwinkliges Dreieck mitdrehen.
Das gedrehte Dreieck liegt nun im 2. Quadranten, und zwar liegt es an der y-Achse an.
Hast du?
Die Strecke, die im ursprünglichen Dreieck für den Kosinus von [mm] \alpha [/mm] stand, hat nach ihrer 90°-Drehung eine andere Rolle: Ihre Länge entspricht dem Sinus von [mm] 90°+\alpha!
[/mm]
Das kannst du für jeden beliebigen Winkel [mm] \alpha [/mm] so machen.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Mi 06.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Abakus, guten Abend,
das hast du super beschrieben. Ich konnte es mir sogar im Kopf BILDLICH vorstellen.
Ich habe ja auch mal eine trigonom.Scheibe gebastelt. (Viertelkreis = 1.Quadrant, mit Kreisbogen (r=1) u. darauf Winkelskalierungen markiert. Darüber durchsichtige drehbare Scheibe mit einem sichtbar schönen Strich, DEM Radius).
Aber, ich glaube ich habe DEN Zusammenhang zwischen dieser Scheibe noch gar nicht begriffen, was es mit unserer schönen sin-Kurve u. cos-Kurve zu tun hat.
Ich glaube es ist sinnvoll, wenn ich meine trigonometr. Scheibe (so wird das gebastelte Ding im Buch genannt) nochmal mache u. zwar nicht als 1/4, sondern als ganzen kompletten Kreis.
Da geht ja richtig was ab u. ist was los u. wenn es schön anschaulich ist, das mögen nicht nur Kinder.
Morgen werde ich aber dennoch mit deiner Erklärung u. dem Bild nochmal versuchen zu verstehen, warum es
cos(x-$ [mm] \bruch [/mm] {3π} {2} $) = -sin x
mit Minus vor dem sin sein soll u. versuchen zu verstehen, warum
$ [mm] \cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin(x) [/mm] $
Für heute ist schluss - ich kann nicht mehr.
Vielen DANK u. einen schönen Abend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Guten Abend,
die waagerechte Strecke, die im ursprüngl. Dreieck für [mm] cos(\alpha) [/mm] stand, hat jetzt nach der 90° Drehg. die Länge von [mm] sin(\alpha+90°).
[/mm]
Ja, das stimmt, das habe ich jetzt trotzdem nochmal geometr. gemacht.
Ja, alles klar, aber warum Minus
g(x)= cos(x+$ [mm] \bruch [/mm] {3pi} {2} $)= - sin x
Abakus Antw. erklärt "nur", wann cos zum sin wird.
Das ist schon mal gut u. auch wichtig zu wissen (DANKE).
Aber hier dreht man Dreiecke, aber ich soll doch eine Kurve (Welle) verschieben.
Ich sehe noch nicht DEN Zus.hang.
Ich habe mal die f(x)=-1*sin(x) geplottert. Ich sehe nur, dass die achsensymmetrisch ist zu sin(x)
Wenn ich die Add.theoreme nicht kenne, dann bleibt mir nur die geometr. Lösung. Geometrisch habe ich für c=90° (als Verschiebg.) abgelesen.
Aber wie ist DIE Begründg., dass sich die cos-Fkt. durch +90° in die sin-Fkt. überführen läßt? Ich sehe auf dem Papier nur, dass sie dann deckungsgleich sind, aber wie soll ich das begründen?
Höchstens eines: Man kann die cos-Kurve zur sin-Kurve "machen", weil cos u. sin OHNE ein Bezugssystem gleich sind. Ich will damit sagen, dass man sie mit dem Bezugssystem ineinander überführen kann, weil
a, b u. d
von a*sin(bx+c)+d gleich sind. (und p auch gleich ist)
Mir gefällt die Begründung aber nicht, denn, wenn bei der einen Fkt. a=6 wäre, dann muss man doch auch nur das a ändern u. kann auch die Ausschläge wieder gleich machen.
Oder ist das doch die Begründung?
Für Antwort über Nacht vielen DANK!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Sa 09.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei deiner Scheibe gilt das doch mit dem waagerechten strich = dem senkrechten für JEDEN Winkel also für alle x. Wenn du alle die Werte der senkrechten, bzw waagerechten Striche über der Bogenlänge des kreises als x Achse einträgst (mit Vorzeichen) dann ergibt sich doch gerade deine Welle!
das ist die beste Erklärung für [mm] sin(x)=cos(x+\pi/2)
[/mm]
Du musst doch die cos Kurve um [mm] \pi/2 [/mm] nach links schieben, nach links um c schieben bedeutet aber (x+c), nach rechts musst du um [mm] 3\pi/2 [/mm] schieben, also gilt auch [mm] sin(x)=cos(x-3\pi/2) [/mm] das ist dasselbe wie [mm] cos(x-3\pi/2+2*\pi) =cos(x+\pi/2) [/mm] weil der cos ja [mm] 2\pi [/mm] periodisch ist.
Da ihr ja extra die Scheibe gemacht habt, würde ich es daran erklären.
schau dir mal as applet an
![[]](/images/popup.gif) hier wenn es nichts tut, geh in Aktion und klick erstellen an.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 So 10.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo leduart,
was für eine Freude über die Antw.!
Denn wieder klärt sich ein grundlegendes Missverständnis:
Die trigonometr. Scheibe, die ich gebastelt habe scheint etwas anderes zu sein als der Einheitskreis.
Die trig.Scheibe hat eine ganz andere Achsenbezeichng. als der Einh.kreis, nämlich
trig. Scheibe: x-Achse ist cos(x) , y-Achse ist sin(x) (ausgedrückt in Zahlen von 0 bis 1)
Beschriftg. Einh.kreis im www: siehe
http://www.mathematik.net/trigonometrie/tr3sb.htm
Beschriftg. Einh.kreis im Buch: Da steht nochmal was anderes:
rechts beim Pfleilende bei +x steht 0 u. entgegengesetzt bei -x=π
D.h. meine gebastelte trig. Scheibe ist gar nicht der Einh.kreis!?!?!?!
Aber was denn dann oder ich kriege die Übertragungen nicht hin?
Mir ist schon klar: Bogenmaß sind Zahlen (also die Beschriftg. mit Pi´s).
Aber es ist irritierend.
> bei deiner Scheibe gilt das doch mit dem waagerechten
> strich = dem senkrechten für JEDEN Winkel also für alle
> x. Wenn du alle die Werte der senkrechten, bzw waagerechten
> Striche über der Bogenlänge des Kreises als x Achse
> einträgst (mit Vorzeichen) dann ergibt sich doch gerade
> deine Welle!
> das ist die beste Erklärung für [mm]sin8x)=cos(x+\pi/2)[/mm]
die will ich dann auch nehmen!!!!!!!!!!!
Nur fehlt mir jetzt noch die korrekte Beschriftung der Achsen. Wie soll die sein?
> Du musst doch die cos Kurve um [mm]\pi/2[/mm] nach links schieben,
> nach links um c schieben bedeutet aber (x+c), nach rechts
> musst du um [mm]3\pi/2[/mm] schieben,
Ohhh, ich Dussssel, dass sich beim Verschieben nach re u. li das Vorzeichen ändert hatte ich einfach nur vergessen.
Hier mal ein klares Bild, von meiner gebastelten trig.Scheibe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> schau dir mal as applet an
Schade, aber geht leider nicht, "Button erstellen" nicht gefunden, PC-Reparateur sollte seit gestern aus Urlaub zur. sein, d.h. ist unterwegs)
Kann erst wieder heute abend hier schauen u. freue mich sehr über Antw. u. wieder ein kleines Stückchen Klärung.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 So 10.10.2010 | | Autor: | chrisno |
> Die trigonometr. Scheibe, die ich gebastelt habe scheint
> etwas anderes zu sein als der Einheitskreis.
Die Scheibe ist sicher kein Kreis....
Die Frage ist, ob der Viertelkreis, den Du gezeichnet hast, ein Teil des Einheitskreises ist.
Die Antwort lautet: ja, denn für den Radius ist die Länge 1 angegeben.
> Die trig.Scheibe hat eine ganz andere Achsenbezeichng. als
> der Einh.kreis, nämlich
Der Einheitskreis hat keine Achsenbezeichnung. Wenn er in ein Koordinatensystem gezeichnet wird,
dann schneidet er die x- und y- Achse in diesen Punkten mit den Koordinaten (1;0), (0;1), (-1;0) (0;-1). Das ist bei dem Bild
> http://www.mathematik.net/trigonometrie/tr3sb.htm
so und auch bei Deiner Scheibe.
> trig. Scheibe: x-Achse ist cos(x) , y-Achse ist sin(x)
Nein. Zuerst einmal hat Du die x- und y- Achse. An diesen stehen Zahlen. Benötigt werden die Bereiche von 0 bis 1 beziehungsweise -1 bis 1. An den Achsen kannst Du mit hilfe der Gitterlinien die Werte für cos und sin ablesen. Du liest aber x und y Werte ab. Du solltest sagen:
Für einen Winkel von ... ° lese ich an der x-Achse den Wert ... ab. So groß ist der cos des Winkels.
Deine Scheibe ist schön.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Mo 11.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo chrisno,
Du schriebst: "An den Achsen kannst Du mit hilfe der Gitterlinien die Werte für cos und sin ablesen. Du liest aber x und y Werte ab. Du solltest sagen: Für einen Winkel von ... ° lese ich an der x-Achse den Wert ... ab."
Ja, wie wichtig es doch ist sich korrekt auszudrücken. Tut man es nicht, kann es zu gewaltigen Missverständnissen kommen, wie dieses: Ich hatte anfangs geglaubt, dass der cos (bzw. die Kurve) selbst die x-Achse darstellt u. die y-Achse soll der sin sein. Ich glaube da hatte leduart geholfen, diese Gehirnakrobatik aufzuklären.
Aber, was ich eigentl. sagen wollte: Danke auch für deine Erhellung, bzgl. trigonometrischer Viertel-Kreis, Einh.-Kreis u. was die Beschriftungen betrifft. Endlich, auch das hat wieder Klarheit gebracht.
Also vielen DANK!!
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