4x4 Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 So 08.11.2009 | | Autor: | Stick |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0&0&2 \\ 1 & 1&0&0\\3&2&3&1&\\0&0&1&0 } [/mm] |
ich wollte eigentlich die matrix in die Dreiecksgestallt bringen, um dann mit sämtlichen umformungen die determinate zu bekommen. aber frag mich ob ich damit nicht aufm Holzweg bin:
![[]](/images/popup.gif) [img=http://img63.imageshack.us/img63/2940/crim0001.jpg]
anschließend habe ich gerechnet:
det(A)' = (-1)*(-3)*(*-2)*1/3*det(A)
= -2*det(A) = det(A)'
det(A)' = 1*1*3*-(1/3) =-1
daraus folgt:
-2 det(A) =det A'-1
So was nun? müsste ich jetzt nicht durch -2 teilen?
wenn ich äquvialenzumformung mit +2 mache komme ich zwar auf 1, bin mir aber nicht sicher ob das Zufall ist
Lösung sollte sein: 1
Vielen dank, ihr seit Klasse!
hoffe eines Tages hier auch Leuten was erklären zu können
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Hallo,
wenn du nach der 4.Zeile entwickelst, wird das wegen der 3 Nullen eine einfache 3x3 Determinantenentwicklung, probier das mal aus.
Gruß, MatheOldie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 So 08.11.2009 | | Autor: | Stick |
Mist, hatte befürchtet dass das kommt!
Habe meine probleme mit dem Entwickeln!
Also versuchs mal.
nach der 4. zeile entwickeln hieße dann glaub ich:
[mm] \pmat{ 1 & 0 &0 \\ 1 & 1&0\\3&2&3 } [/mm] ?
und dann kann ich normal mit dem Sarrs verfahren rechnen?
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Hallo,
naja du musst schon etwas genauer sein.
Konkret:
[mm] $\detA=(-1)^{3+4}*1*\det \pmat{ 1 & 0 &0 \\ 1 & 1&0\\3&2&3 } [/mm] $
Edit:
Die Streichmatrix ist falsch!
Dabei ist 3 der Spaltenindex und 4 Der Zeilenindex von dem Element nach dem du entwickelst und 1 ist genau der Eintrag nach dem entwickelt wird.
Die det der entstandenen [mm] $3\times [/mm] 3$ Matrix kannst du mit Sarrus bestimmen oder viel einfacher ist nochmal entwickeln!
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 So 08.11.2009 | | Autor: | Stick |
oke wow, ich versuchs... Aber ergebniss stimmt nicht mit der Lösung überein.
Aber ich habe:
[mm] =(-1)^3^+^4*1*det \pmat{ 1 & 0&0 \\ 1 & 1&0\\3&2&3 }
[/mm]
= [mm] (-1)^2^+^1*1*det \pmat{ 1 & 0 \\ 2&3 }
[/mm]
= [mm] (-1)^1^+^1*1*det [/mm] = 3
Lösung : determinante ist 3!? Ist das reichtig? weil eigentl. soll sie 1 sein
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Die 3x3 Unterdeterminante stimmt nicht: 4.Zeile/ 3.Spalte streichen, dann hast du die Determinante von
1 0 2
1 1 0
3 2 1
mit dem Determinantenwert 1 + 2*(1*2-3*1)=-1.
Aber noch mit [mm](-1)^{4+3}=-1[/mm] multiplizieren, da dies aus der Entwicklung nach der 4.Zeile/3.Spalte stammt.
Dann hast du dein gewünschtes Ergebnis.
Guat's Nächtle, ich bin weg.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 So 08.11.2009 | | Autor: | Stick |
Oke omg ich habs verstanden!! :) *freu*
BIS AUF:
im letzen schritt habe ja dann stehen :
= [mm] (-1)^3^+^1*1*det \pmat{ 1 & 1 \\ 3 & 2 }
[/mm]
dann folgt 1*2-3*1 = -1
wie komme ich dann auf die +1 ?
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Weil das Element nach dem du entwickelst in der 3. Spalte steht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 So 08.11.2009 | | Autor: | Stick |
toll, jetzt bin ich soweit gekommen, und versteh das ende nicht.
was heißt:" Weil das Element nach dem du entwickelst in der 3. Spalte steht."
heißt dass bei:
[mm] (-1)^3^+^4 [/mm] *1*det muss ich mein ergebniss -1 in det einsetzen?
also [mm] (-1)^3+^4 [/mm] *1*(-1)
^det = [mm] 1^3+^4
[/mm]
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> toll, jetzt bin ich soweit gekommen, und versteh das ende
> nicht.
Hallo,
ich mach's mal ausführlich vor:
det $ [mm] \pmat{ 1 & 0&0&2 \\ 1 & 1&0&0\\3&2&3&1&\\\red{0}&\red{0}&\red{1}&\red{0} } [/mm] $
(nach der letzten Zeile entwickeln:)
[mm] =(-1)^{4+1}*0*det\pmat{ 0&0&2 \\ 1&0&0\\2&3&1} [/mm] $ [mm] +(-1)^{4+2}*0*det\pmat{ 1 &0&2 \\ 1 &0&0\\3&3&1 } (-1)^{4+3}*1*det\pmat{ 1 & 0&2 \\ 1 & 1&0\\3&2&1 } +(-1)^{4+4}*0*det\pmat{ 1 & 0&0 \\ 1 & 1&0\\3&2&3}
[/mm]
= [mm] (-1)^{4+3}*1*det\pmat{ 1 & 0&2 \\ 1 & 1&0\\3&2&1 } [/mm]
Die 3x3-Determinante kannst Du nun mit der Regel von Sarrus berechnen, oder durch weitere Entwicklung.
Letzteres scheint Dir vorzuschweben. Entwickeln wir also nach der ersten Zeile, was Du zu planen schienst:
[mm] (-1)^{4+3}*det\pmat{ \red{1} & \red{0}&\red{2} \\ 1 & 1&0\\3&2&1 }
[/mm]
=(-1)*[ [mm] (-1)^{1+1}*1* det\pmat{ 1&0\\2&1 } +(-1)^{1+2}*0*det\pmat{ 1 &0\\3&1 } +(-1)^{1+3}*2*det\pmat{1 & 1\\3&2 } [/mm] ]
=- [mm] det\pmat{ 1&0\\2&1 } -2*det\pmat{1 & 1\\3&2 } [/mm]
=-(1*1-2*0) -2(1*2-3*1)=-1+2=1
Ich glaub, Du solltest Dir im schlauen Buch nochmal durchlesen, wie das mit der Entwicklung geht.
Am besten dann ein paar gerechnete Beispiele anschauen und anschließend allein rechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Di 10.11.2009 | | Autor: | Stick |
> Hallo,
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> ich mach's mal ausführlich vor:
>
> det [mm]\pmat{ 1 & 0&0&2 \\ 1 & 1&0&0\\3&2&3&1&\\\red{0}&\red{0}&\red{1}&\red{0} }[/mm]
>
> (nach der letzten Zeile entwickeln:)
>
> [mm]=(-1)^{4+1}*0*det\pmat{ 0&0&2 \\ 1&0&0\\2&3&1}[/mm] $
> [mm]+(-1)^{4+2}*0*det\pmat{ 1 &0&2 \\ 1 &0&0\\3&3&1 } (-1)^{4+3}*1*det\pmat{ 1 & 0&2 \\ 1 & 1&0\\3&2&1 } +(-1)^{4+4}*0*det\pmat{ 1 & 0&0 \\ 1 & 1&0\\3&2&3}[/mm]
>
> = [mm](-1)^{4+3}*1*det\pmat{ 1 & 0&2 \\ 1 & 1&0\\3&2&1 }[/mm]
>
> Die 3x3-Determinante kannst Du nun mit der Regel von Sarrus
> berechnen, oder durch weitere Entwicklung.
> Letzteres scheint Dir vorzuschweben. Entwickeln wir also
> nach der ersten Zeile, was Du zu planen schienst:
>
> [mm](-1)^{4+3}*det\pmat{ \red{1} & \red{0}&\red{2} \\ 1 & 1&0\\3&2&1 }[/mm]
>
> =(-1)*[ [mm](-1)^{1+1}*1* det\pmat{ 1&0\\2&1 } +(-1)^{1+2}*0*det\pmat{ 1 &0\\3&1 } +(-1)^{1+3}*2*det\pmat{1 & 1\\3&2 }[/mm]
> ]
>
> =- [mm]det\pmat{ 1&0\\2&1 } -2*det\pmat{1 & 1\\3&2 }[/mm]
>
> =-(1*1-2*0) -2(1*2-3*1)=-1+2=1
>
>
> Ich glaub, Du solltest Dir im schlauen Buch nochmal
> durchlesen, wie das mit der Entwicklung geht.
> Am besten dann ein paar gerechnete Beispiele anschauen und
> anschließend allein rechnen.
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
OKe, ich habs jetzt endlich verstanden. Danke erstmal!
Habe nur noch eine Frage (hoffentlich die letzte)
Warum nimmst du nachdem du die 3x3 Matrizen hast, die
[mm] (-1)^4^+^3 [/mm] Matrix und nicht eine andere.
Mit einer anderen kommt auch nen anderes ergebniss raus.
danke ihr seit die besten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Di 10.11.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Was meinst du mit [mm] "(-1)^3+4 [/mm] MATRIX" ??? ...du kannst nach beliebigen Spalten oder Zeilen entwickeln. Hier wurde einfach nach der 4 Zeile und dritten Spalte entwickelt weil in der Vierten Zeile sonst nur Nullen sind, dann must du die Anderen Spalten nicht mehr entwickeln weil mit Null multipliziert wird...
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> OKe, ich habs jetzt endlich verstanden. Danke erstmal!
> Habe nur noch eine Frage (hoffentlich die letzte)
>
> Warum nimmst du nachdem du die 3x3 Matrizen hast, die
> [mm](-1)^4^+^3[/mm] Matrix und nicht eine andere.
Hallo,
Du meinst die Stelle, an der ich die Summe von vier 3x3-Matrizen habe?
Von denen werden doch 3 Stück mit der 0 multipliziert, sind also weg, so daß nur noch eine bleibt, mit der ich weiterarbeiten muß.
Wären die Vorfaktoren bei den anderen nicht =0, so hätte ich diese ebenfalls weiterentwickeln müssen.
> Mit einer anderen kommt auch nen anderes ergebniss raus.
Nee Du, egal wie man's macht: wenn man's richtig macht, kommt immer dassselbe raus.
>
> danke ihr seit die besten
Wir haben's schon immer geahnt, aber jetzt sind wir uns sicher!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Di 10.11.2009 | | Autor: | Stick |
Man bin ich Hohl.
die 0*det 0*det 1*det 0*det kommt ja durch die zu entwickelnde Zeile 4 zustande
leute ich habs verstanden! :D ihr könnt nun beruhigt in euren Feierabend begeben!
Angela du kommst in meine MatheFreundesliste, ob du willst oder nicht.... 
danke euch
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Hallo, ich habe eine Verständnisfrage zu dem nachfolgenden Beispiel:
> Hallo,
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> ich mach's mal ausführlich vor:
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> det [mm]\pmat{ 1 & 0&0&2 \\ 1 & 1&0&0\\3&2&3&1&\\\red{0}&\red{0}&\red{1}&\red{0} }[/mm]
>
> (nach der letzten Zeile entwickeln:)
>
> [mm]=(-1)^{4+1}*0*det\pmat{ 0&0&2 \\ 1&0&0\\2&3&1}[/mm] $
> [mm]+(-1)^{4+2}*0*det\pmat{ 1 &0&2 \\ 1 &0&0\\3&3&1 } (-1)^{4+3}*1*det\pmat{ 1 & 0&2 \\ 1 & 1&0\\3&2&1 } +(-1)^{4+4}*0*det\pmat{ 1 & 0&0 \\ 1 & 1&0\\3&2&3}[/mm]
>
> = [mm](-1)^{4+3}*1*det\pmat{ 1 & 0&2 \\ 1 & 1&0\\3&2&1 }[/mm]
>
> Die 3x3-Determinante kannst Du nun mit der Regel von Sarrus
> berechnen, oder durch weitere Entwicklung.
> Letzteres scheint Dir vorzuschweben. Entwickeln wir also
> nach der ersten Zeile, was Du zu planen schienst:
>
> [mm](-1)^{4+3}*det\pmat{ \red{1} & \red{0}&\red{2} \\ 1 & 1&0\\3&2&1 }[/mm]
>
> =(-1)*[ [mm](-1)^{1+1}*1* det\pmat{ 1&0\\2&1 } +(-1)^{1+2}*0*det\pmat{ 1 &0\\3&1 } +(-1)^{1+3}*2*det\pmat{1 & 1\\3&2 }[/mm]
> ]
>
> =- [mm]det\pmat{ 1&0\\2&1 } -2*det\pmat{1 & 1\\3&2 }[/mm]
>
> =-(1*1-2*0) -2(1*2-3*1)=-1+2=1
>
>
>
Die Vorgehensweise leuchtet mir grundsätzlich ein.
Warum steht überall (-1) vor den Berechnungen der Entwicklung?
> [mm]=(-1)^{4+1}*0*det\pmat{ 0&0&2 \\ 1&0&0\\2&3&1}[/mm]
Wie wirkt sich die [mm] (-1)^{4+3} [/mm] aus? Wird zum Schluß jeweils mit (-1) multipliziert (abgesehen davon, dass hier sowieso 0 rauskäme)?
Wenn dem so ist warum findet das bei dieser Berechnung nicht konsequent statt?
> [mm](-1)^{4+3}*det\pmat{ \red{1} & \red{0}&\red{2} \\ 1 & 1&0\\3&2&1 }[/mm]
>
> =(-1)*[ [mm](-1)^{1+1}*1* det\pmat{ 1&0\\2&1 } +(-1)^{1+2}*0*det\pmat{ 1 &0\\3&1 } +(-1)^{1+3}*2*det\pmat{1 & 1\\3&2 }[/mm]
> ]
>
> =- [mm]det\pmat{ 1&0\\2&1 } -2*det\pmat{1 & 1\\3&2 }[/mm]
>
> =-(1*1-2*0) -2(1*2-3*1)=-1+2=1
Das Ergebnis hier wäre dann nämlich -1, was aber falsch ist.
Ich habe die Determinante nach der 3. Zeile vollkommen analog zum Beispiel entwickelt. Leider bekomme ich stets -9 als Ergebnis. Kann da jemand helfen?
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Hallo, es steht nicht der Faktor -1, du übersiehst die Exponenten, schaue dir mal den Laplace’schen Entwicklungssatz an, bzw. die Potenzgesetze, es ergeben sich die Faktoren -1 bzw. 1,
det [mm] \pmat{ 1 & 0&0&2 \\ 1 & 1&0&0\\3&2&3&1&\\\red{0}&\red{0}&\red{1}&\red{0} }=1
[/mm]
die Entwicklung nach der 3. zeile hat ergeben:
[mm] (-1)^{4+3}\cdot{}det\pmat{ \red{1} & \red{0}&\red{2} \\ 1 & 1&0\\3&2&1 }
[/mm]
[mm] =(-1)\cdot{}det\pmat{ \red{1} & \red{0}&\red{2} \\ 1 & 1&0\\3&2&1 } [/mm]
=(-1)*(1+4-6) gerechnet nach Regel von Sarrus
=(-1)*(-1)
=1
wie gesagt Potenzgesetze anschauen, welchen Fehler du gemacht hast, wenn du nach der 3. Zeile entwickelst, kann ich nicht sagen, stelle deine Rechnung hier rein,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:35 Fr 27.12.2013 | | Autor: | einstudent |
(-1)^2n = 1 hatte ich übersehen. Jetzt kommt bei beliebiger Zeilenenwicklung immer das gleiche Ergebnis heraus.
Vielen Dank Steffi für die Hilfe und die schnelle Anwort :)
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![[]](http://img63.imageshack.us/i/crim0001.jpg/){kind=small}
[img=http://img63.imageshack.us/img63/2940/crim0001.jpg]