4) Eigenwert < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Mo 22.03.2010 | | Autor: | LariC |
Hallo,
schreibe morgen meine Lina- Klasur und habe gestern nocheinmal eine klausur zur Übung der letzten Jahre gerechnet. Bei einigen Aufgaben bin ich mir aber nicht ganz sicher und wollte überprüfen lassen, ob die soweit richtig sind - ansonsten würde ich ja die gleichen Fehler in der klausur machen. Außerdem komme ich bei der einen Aufgabe nicht so richtig Ahnung - könnte mir dazu bitte jemand mein Fragen erklären!!?? - Vielen Dank im voraus...
4.) Es seien V ein endl-dim.K-VR F:V -> V eine bij. lin.Abb. und $ [mm] \lambda \in [/mm] $ K ein EW von F. ZZ: Es gilt $ [mm] \lambda [/mm] $ ungleich Null und $ [mm] \lambda^-1 [/mm] $ ist ein EW von F^-1.
LÖSUNG:
Es gilt F(v)= $ [mm] \lambda [/mm] $ *v , da F bijk. gilt auch:
1/F(v) = $ [mm] 1/\lambda\cdot{}v [/mm] $ Da V ungleich 0 laut EV-Def., also muss auch für $ [mm] \lambda [/mm] $ ungelich Null gelten, denn nur dann ist der Nenner nie Null., außerdem gilt wegen bij., dass $ [mm] \lambda^-1 [/mm] $ ein EW zu F^-1 ist, was zu zeugen war.
So das wars ich hoffe ihr könnt mir helfen. Vilen Dank im voaraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 Mo 22.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> schreibe morgen meine Lina- Klasur und habe gestern
> nocheinmal eine klausur zur Übung der letzten Jahre
> gerechnet. Bei einigen Aufgaben bin ich mir aber nicht ganz
> sicher und wollte überprüfen lassen, ob die soweit
> richtig sind - ansonsten würde ich ja die gleichen Fehler
> in der klausur machen. Außerdem komme ich bei der einen
> Aufgabe nicht so richtig Ahnung - könnte mir dazu bitte
> jemand mein Fragen erklären!!?? - Vielen Dank im
> voraus...
>
>
>
> 4.) Es seien V ein endl-dim.K-VR F:V -> V eine bij.
> lin.Abb. und [mm]\lambda \in[/mm] K ein EW von F. ZZ: Es gilt
> [mm]\lambda[/mm] ungleich Null und [mm]\lambda^-1[/mm] ist ein EW von F^-1.
>
> LÖSUNG:
> Es gilt F(v)= [mm]\lambda[/mm] *v , da F bijk. gilt auch:
Das ist ja fürchterlich ! Du dividierst durvh Vektoren !
Du hast (*) F(v)= [mm]\lambda[/mm] *v mit v [mm] \ne [/mm] 0
Warum ist [mm] \lambda \not= [/mm] 0 ? (Tipp: F ist bijektiv)
Lasse auf (*) [mm] F^{-1} [/mm] los !
FRED
> 1/F(v) = [mm]1/\lambda\cdot{}v[/mm] Da V ungleich 0 laut EV-Def.,
> also muss auch für [mm]\lambda[/mm] ungelich Null gelten, denn nur
> dann ist der Nenner nie Null., außerdem gilt wegen bij.,
> dass [mm]\lambda^-1[/mm] ein EW zu F^-1 ist, was zu zeugen war.
>
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> So das wars ich hoffe ihr könnt mir helfen. Vilen Dank im
> voaraus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Mo 22.03.2010 | | Autor: | LariC |
Achso - ich glaube den ersten teil habe ich dann:
[mm] \lambda \not= [/mm] 0, da F ansosnten nicht , mehr bijektiv wäre, denn dann wäre mit [mm] \lambda [/mm] = 0 mehr als nur genau ein Wert für v einzusetzten, um Null zu erhalten und das würde gegen die Bijektivität sprechen, also - damit es bijektiv ist, muss unser Skalar immer ungleich NUll sein...
Logisch ist s so für ich - hoffe nur das es auch richtig ist.
Jetzt mache ich mir nochmal zu dem zwiten Teil der Aufgabe Gedanken. Danke schonmal für die Hilfe...
Und warum ist es eig. so furchtbar durch Vektoren zu dividieren - ich wollte halt irgendwie einen umkehrfunktion schaffen und mit Skalaren geht das ja uch immer so - also dachte ich mir... Schade...naja...
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> Achso - ich glaube den ersten teil habe ich dann:
> [mm]\lambda \not=[/mm] 0, da F ansosnten nicht , mehr bijektiv
> wäre, denn dann wäre mit [mm]\lambda[/mm] = 0 mehr als nur genau
> ein Wert für v einzusetzten, um Null zu erhalten und das
> würde gegen die Bijektivität sprechen, also - damit es
> bijektiv ist, muss unser Skalar immer ungleich NUll
> sein...
> Logisch ist s so für ich - hoffe nur das es auch richtig
> ist.
Hallo,
Du meinst das richtig.
Kurz: wäre 0 ein Eigenwert von F, dann gäbe es ein [mm] v\not=0 [/mm] mit F(v)=0. Es ist aber auch stets F(0)=0, also ist F nicht injektiv.
Somit müssen ide EWe einer bijektiven Abbildung von 0 verschieden sein.
>
>
> Jetzt mache ich mir nochmal zu dem zwiten Teil der Aufgabe
> Gedanken. Danke schonmal für die Hilfe...
> Und warum ist es eig. so furchtbar durch Vektoren zu
> dividieren -
U.a. deshalb, weil diese Division nicht definiert ist.
> ich wollte halt irgendwie einen umkehrfunktion
> schaffen
Aber allein durchs dreiste Tun bekommt man keine Umkehrung...
Du müßtest Dir was Hübsches definieren und zeigen, daß es all das tut, was es soll - viel Vergnügen!
> und mit Skalaren geht das ja uch immer so - also
> dachte ich mir... Schade...naja...
Tja, manches ist so schade im Leben... Mein Kater kann auch nicht fliegen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Mo 22.03.2010 | | Autor: | LariC |
Ja - das ist schön das es richtig war :)
Aber mit dem 2. Teil der Aufghabe komme ich jetzt trotzdem nicht klar. Habe jetzt folgendes:
[mm] F(v)=\lambda*v
[/mm]
[mm] F^-1(F(v))=F^-1(\lambda*v)=...?
[/mm]
Dahinter habe ich bisehr nur Quatsch...
Ich weiß ja nichts über F^-1 - außer das es bijektiv ist, aber hilft mir das irgendwie??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Micha |
Hallo LariC!
> Ja - das ist schön das es richtig war :)
>
> Aber mit dem 2. Teil der Aufghabe komme ich jetzt trotzdem
> nicht klar. Habe jetzt folgendes:
>
> [mm]F(v)=\lambda*v[/mm]
>
> [mm]F^-1(F(v))=F^-1(\lambda*v)=...?[/mm]
>
> Dahinter habe ich bisehr nur Quatsch...
> Ich weiß ja nichts über F^-1 - außer das es bijektiv
> ist, aber hilft mir das irgendwie??
Ich glaube es ist noch nicht ganz klar, was [mm] $F^{-1}$ [/mm] eigentlich bedeutet. Es ist bei einer bijektiven Abbildung nämlich die Umkehrabbildung. Sie macht also alles was $F$ bewirkt "rückgängig". Mathematisch ausgedrückt: [mm] $F^{-1} \circ [/mm] F = [mm] id_V$, [/mm] wobei das letzte die Identitätsabbildung auf $V$ ist.
Wenn $F$ nun auf einen Vektor $v$ angewendet ergibt
$F(v)= [mm] \lambda \cdot [/mm] v$ , wie muss dann [mm] $F^{-1} [/mm] aussehen, damit gilt
$v = [mm] id_V [/mm] (v) = [mm] F^{-1}\circ [/mm] F(v) = [mm] F^{-1} [/mm] (F(v)) = [mm] F^{-1} (\lambda\cdot [/mm] v)$?
Welcher Eigenwert gehört zum Vektor(!) $F(v)$ (das ist der Vektor aus $V$, auf den du $v$ mit $F$ abgebildet hast)?
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Mo 22.03.2010 | | Autor: | LariC |
> Hallo LariC!
> Es ist bei einer bijektiven Abbildung
> nämlich die Umkehrabbildung. Sie macht also alles was [mm]F[/mm]
> bewirkt "rückgängig". Mathematisch ausgedrückt: [mm]F^{-1} \circ F = id_V[/mm],
> wobei das letzte die Identitätsabbildung auf [mm]V[/mm] ist.
>
> Wenn [mm]F[/mm] nun auf einen Vektor [mm]v[/mm] angewendet ergibt
> $F(v)= [mm]\lambda \cdot[/mm] v$ , wie muss dann [mm]$F^{-1}[/mm] aussehen,
> damit gilt
> [mm]v = id_V (v) = F^{-1}\circ F(v) = F^{-1} (F(v)) = F^{-1} (\lambda\cdot v)[/mm]?
Also ich hoffe ich habe das jetzt richtig kapiert:
ICH SUCHE ALSO DIESES $, damit ich die Identität erhalte, also:
[mm] S*F(v)=$\lambda [/mm] *v= ... =v
So und damit das passiert, nehmen wir jetzt natürlich die Umkehrung unseres Skalars, also
[mm] F^-1*F(v)=F^-1(\lambda [/mm] *v)= [mm] 1/\lambda *\lambda [/mm] *v= 1*v=v
> Welcher Eigenwert gehört zum Vektor(!) [mm]F(v)[/mm] (das ist der
> Vektor aus [mm]V[/mm], auf den du [mm]v[/mm] mit [mm]F[/mm] abgebildet hast)?
Als wissen wir dass wir den EW -1 für F^-1 haben!!??
> Gruß Micha
Gruß und dank zurück
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Micha |
Hallo nochmal!
> Also ich hoffe ich habe das jetzt richtig kapiert:
>
> ICH SUCHE ALSO DIESES $, damit ich die Identität erhalte,
> also:
Das mit dem $ tut mir leid, das ist ein Fehler vom Latex, das kansnt du ignorieren, da ich das getzt hatte um eine Formel darzustellen. Erstaunlicherweise bist du aber trotzdem auf den (fast) richtigen Schluss gekommen.
> [mm]S*F(v)=$\lambda[/mm] *v= ... =v
> So und damit das passiert, nehmen wir jetzt natürlich die
> Umkehrung unseres Skalars, also
> [mm]F^-1*F(v)=F^-1(\lambda[/mm] *v)= [mm]1/\lambda *\lambda[/mm] *v= 1*v=v
>
> > Welcher Eigenwert gehört zum Vektor(!) [mm]F(v)[/mm] (das ist der
> > Vektor aus [mm]V[/mm], auf den du [mm]v[/mm] mit [mm]F[/mm] abgebildet hast)?
> Als wissen wir dass wir den EW -1 für F^-1 haben!!??
Hier musst du nochmal überlegen: Wenn [mm] \lambda [/mm] der Eigenwert von F ist, dann ist der Eigenwert von [mm] $F^{-1}$ [/mm] doch nicht -1.
Gruß Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Mo 22.03.2010 | | Autor: | LariC |
Uuups - stimmt, dann hätt ich ja dafür [mm] 1/\lambda [/mm] eingesetzt und dann wäre also, was zu zeigen war, lambda^-1 der EW - schön :)
Danke dir...
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