3x3 Matrix bestimmen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie eine 3x3 Matrix mit nur einem Eigenwert und einer Dimension der dazugehörenden Eigenräume von 2. |
Was für eine Matrix könnte dies sein?
Geht diese hier?
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
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> Bestimmen Sie eine 3x3 Matrix mit nur einem Eigenwert und
> einer Dimension der dazugehörenden Eigenräume von 2.
> Was für eine Matrix könnte dies sein?
>
> Geht diese hier?
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> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
Hi,
für die Eigenwerte gilt doch: [mm] det(\lambda I_n [/mm] - A)=0. Somit hat deine Matrix doch die Eigenwerte 1 und 0.
Also muss auf der Diagonalen stets die gleiche Zahl stehen (bei einer Dreiecksmatrix). Dann hat aber der Eigenraum die Dimension 3, zumindestens wenn die Matrix diagonalisierbar ist. Man müsste sich jetzt überlegen, welche Bedingung zusätzlich noch erfüllt sein muss, damit die Dimension nur 2 beträgt. Da mir da spontan nichts zu einfällt, lasse ich die Frage mal unbeantwortet.
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Fr 22.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Die Eigenwerte von [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] sind 1 und 0 mit dem Eigenräumen [mm] \vektor{x\\0\\0}\cong\IR^1 [/mm] und [mm] \vektor{-y\\y-z\\z}\cong\IR^2. [/mm] Sind zwei Eigenwerte, mit nicht nur 2-dimensionalen Räumen.
Auf ein neues...
(Falls du keine weiteren Ansätze hast : Wie berechnet man die Eigenwerte ? Was muss gelten, damit man nur ein Eigenwert erhält ?)
Ciao.
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