3teWurzel aus 5 - rational? < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Sa 24.10.2009 | | Autor: | dayscott |
| Aufgabe | | Eine Zahl y heist n-te Wurzel aus aus x wenn gilt: [mm]y = {x}^{\bruch{1}{n}}[/mm]. Zeigen Sie: Wenn [mm]5^{\bruch{1}{3}} = \bruch{a}{
b} [/mm] dann gibt es ein [mm]c < a[/mm] und ein [mm]d < b[/mm], so dass [mm] 5^{\bruch{1}{3}} = \bruch{c}{
d}[/mm]. Ist [mm] 5^{\bruch{1}{3}[/mm] eine rationale Zahl? Begründung |
1. Da keine Annahmen über a und b gefällt wurden, muss ich wohl annehmen das wir uns in [mm] \IR[/mm] bewegen für a und b. (ist diese Annahme richtig?)
2. Da es ein [mm]c < a [/mm] und ein [mm]d < b [/mm] nur dann geben kann wenn [mm]a,b [/mm] rationale Zahlen sind, lautet die Folgerung also dass[mm]5^{\bruch{1}{3}} [/mm] keine rationale Zahl sein kann, da bei einer rationalen zahl Zähler und Nenner natürliche Zahlen sein müssen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Sa 24.10.2009 | | Autor: | dayscott |
bin ein Stückchen weitergekommen:
umgeformt wird das Ganze schon etwas transparenter:
[mm]5 = (\bruch{a}{b})^{3}
5 * b * b * b = a * a * a [/mm]
folglich muss a oder b rational sein sonst kann man die Gleichung nicht lösen. D.h wenn a und b natürliche Zahlen sind, kann man die Gleichung nicht lösen.
Ist das richtig argumentiert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:20 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
"sonst kann man die Gl. nicht loesen" musst du schon begruende.
und mit dem c/d hast du nichts gemacht.
fuer a und b gibt es 3 Moeglichkeiten natuerlich, rational, nichtrational. rational kann man durch erweitern auf natuerlich zuruckfuehren. bleiben nur 2 Moeglichkeiten.
dann fang mit c/d an dem gekuerzten Bruch.
Gruss leduart
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Man kann die Gleichung nicht lösen, das es nicht sein kann das links mehr Faktoren als rechts stehen wenn die Faktoren aus [mm]\N[/mm] sind. Ist das Begründung genug?
Inwiefern müsste ich nun mehr auf c und d eingehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Di 27.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:25 Di 27.10.2009 | | Autor: | dayscott |
oh ja vielen Dank ! v.A. an Al-Chwarizmi -
ich weis leider nicht wo hier der "erledigt" button ist um diesen thread abzuschließen.
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> Eine Zahl y heist n-te Wurzel aus aus x wenn gilt: [mm]y = {x}^{\bruch{1}{n}}[/mm].
> Zeigen Sie: Wenn [mm]5^{\bruch{1}{3}} = \bruch{a}{
b}[/mm] dann
> gibt es ein [mm]c < a[/mm] und ein [mm]d < b[/mm], so dass [mm]5^{\bruch{1}{3}} = \bruch{c}{
d}[/mm].
> Ist [mm]5^{\bruch{1}{3}[/mm] eine rationale Zahl? Begründung
> 1. Da keine Annahmen über a und b gefällt wurden, muss
> ich wohl annehmen das wir uns in [mm]\IR[/mm] bewegen für a und b.
> (ist diese Annahme richtig?)
Mit a und b sind hier bestimmt natürliche Zahlen
gemeint, obwohl dies leider nicht gesagt wird.
Eine allfällige rationale dritte Wurzel aus 5 müsste
ja eine positive rationale Zahl sein, die sich dann
als Bruch mit ganzzahligem positiven Zähler und
Nenner schreiben lassen würde. Man darf sogar
ferner voraussetzen, dass a und b teilerfremd sind
(keinen gemeinsamen ganzzahligen Teiler haben),
denn andernfalls könnte man ja den Bruch kürzen
ohne die Eigenschaft [mm] \left(\frac{a}{b}\right)^3=5 [/mm] zu verlieren.
Falls man nun unter diesen Annahmen, also
a,b [mm] \in\IN [/mm] und a,b teilerfremd sowie [mm] \left(\frac{a}{b}\right)^3=5
[/mm]
zeigen kann, dass es dann noch kleinere natürli-
che Zahlen mit denselben Eigenschaften geben
müsste, dann hat man einen Widerspruch, und
die Folgerung müsste sein, dass die Hypothese
der Existenz einer rationalen [mm] \wurzel[3]{5} [/mm] eben unerfüllbar
ist.
Bemerkung: man muss natürlich auch noch zeigen,
dass für (positive) rationale Zahlen [mm] \left(\frac{a}{b}\right) [/mm] und [mm] \left(\frac{c}{d}\right) [/mm]
gilt:
[mm] $\left(\frac{a}{b}\right)^3=\left(\frac{c}{d}\right)^3\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Sa 24.10.2009 | | Autor: | dayscott |
> Mit a und b sind hier bestimmt natürliche Zahlen
> gemeint, obwohl dies leider nicht gesagt wird.
In der Aufgabenstellung wird das womöglich explizit weggelassen. Ich hab das zunächst so interpetiert, dass wenn man zu einem gegebenen a,b ein c,d findet mit c < a und d < b, dann kann man c durch a und d durch b ersetzen, und das Spiel geht von vorne los. Das geht nur wen a,b reelle Zahlen sind. Verstehst was ich meine ?
> Falls man nun unter diesen Annahmen, also
> a,b [mm]\in\IN[/mm] und a,b teilerfremd sowie
> [mm]\left(\frac{a}{b}\right)^3=5[/mm]
> zeigen kann, dass es dann noch kleinere natürli-
> che Zahlen mit denselben Eigenschaften geben
> müsste, dann hat man einen Widerspruch
"Natürliche Zahlen mit den selben Eigenschaften" - was meinst du damit ? Ich verstehe nicht ganz wie ich formal korrekt zur dem Widerspruch komme.
schau bitte in die 2.te Mitteilung von mir , da hab ich nen Ansatz nachträglich gepostet, mal schauen was du davon hällst.
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> > Mit a und b sind hier bestimmt natürliche Zahlen
> > gemeint, obwohl dies leider nicht gesagt wird.
> In der Aufgabenstellung wird das womöglich explizit
> weggelassen. Ich hab das zunächst so interpetiert, dass
> wenn man zu einem gegebenen a,b ein c,d findet mit c < a
> und d < b, dann kann man c durch a und d durch b ersetzen,
> und das Spiel geht von vorne los. Das geht nur wen a,b
> reelle Zahlen sind. Verstehst was ich meine ?
Mit beliebig reellen a,b,c,d macht das Ganze keinen Sinn,
denn zu jedem Bruch [mm] \frac{a}{b} [/mm] mit positiven reellen a,b
gibt es kleinere positive c,d mit [mm] \frac{c}{d}=\frac{a}{b}.
[/mm]
Auf diese Weise könnte man also gar keinen Widerspruch
erzeugen und vor allem nichts betr. Rationalität oder
Irrationalität beweisen.
> > Falls man nun unter diesen Annahmen, also
> > a,b [mm]\in\IN[/mm] und a,b teilerfremd sowie
> > [mm]\left(\frac{a}{b}\right)^3=5[/mm]
> > zeigen kann, dass es dann noch kleinere natürli-
> > che Zahlen mit denselben Eigenschaften geben
> > müsste, dann hat man einen Widerspruch
>
> "Natürliche Zahlen mit den selben Eigenschaften" - was
> meinst du damit ?
c,d teilerfremd und [mm] $\left(\frac{c}{d}\right)^3=5$ [/mm]
> Ich verstehe nicht ganz wie ich formal
> korrekt zu dem Widerspruch komme.
Mal angenommen, es seien [mm] a,b\in\IN, [/mm] teilerfremd und
(1) $\ [mm] b^3=5*a^3$
[/mm]
Wenn man nun beidseitig die Primfaktorzerlegung
betrachtet, so steckt rechts offensichtlich mindestens
ein Faktor 5 drin: derjenige, der zu sehen ist.
Wegen der Eindeutigkeit der Primzerlegung muss
deshalb auch links wenigstens ein Faktor 5 drin
stecken, also $\ [mm] b^3=b*b*b=5*k$ (k\in\IN). [/mm] Da in $\ b*b*b$ aber
jeder Primfaktor, der überhaupt drin steckt, mindestens
3 mal drin steckt, muss, wieder wegen dem Eindeu-
tigkeitssatz, b durch 5 teilbar sein, also $\ b=5*d$
mit einem [mm] d\in\IN. [/mm] Setzt man dies in die Gleichung (1)
ein, so hat man:
(2) $\ [mm] b^3=(5*d)^3=5*a^3$
[/mm]
Dies kann man durch 5 dividieren:
(3) $\ [mm] 5^2*d^3=a^3$
[/mm]
Nun steckt links der Primfaktor 5 drin, also muss
er auch rechts drin stecken und nach den gleichen
Überlegungen wie vorher auch in a, d.h. es ist $\ a=5*c$
mit [mm] c\in\IN.
[/mm]
Mit anderen Worten: Obwohl wir oben mit gutem
Grund von einem gekürzten Bruch [mm] \frac{a}{b} [/mm] ,
also teilerfremden a und b ausgehen durften,
müssten a und b doch den gemeinsamen Faktor 5
haben. Damit haben wir den gesuchten Widerspruch.
LG
Al-Chw.
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