3 unklare Aufgaben zu Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1)
Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Zahlenfolge:
[mm] (\wurzel{n+\wurzel{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{n})
[/mm]
2)
Betrachten Sie die Folge reeller Zahlen und zeigen Sie, dass sie divergent ist
[mm] a_{n}=\wurzel[3]{x}
[/mm]
3)
Sei die Folge [mm] (x_{n} [/mm] in [mm] \IR [/mm] rekursiv definiert durch [mm] x_{1}=\bruch{3}{2} [/mm] und [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] Q(x_{n}) [/mm] für alle [mm] \in \IN, [/mm] wobei Q: [mm] \IR \to \IR:
[/mm]
x [mm] \to x^{2} [/mm] - 2x + 2
(a) Zeigen Sie: 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \le [/mm] Q(x) [mm] \le [/mm] 2 und 1 < x < 2 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 < Q(x) <2
(b) Zeigen Sie per Induktion: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt 1 < [mm] x_{n+1} [/mm] < [mm] x_{n}
[/mm]
(c) Beweisen Sie, dass die Folge [mm] (x_{n}) [/mm] konvergiert
(d) Bestimmen Sie den Grenzwert
(e) Bestimmen Sie experimentell anhand der ersten sechs Folgeglieder die Konvergenzordnung und Konvergenzrate dieses Interationsverfahrens |
Hallo! Ich hab einige Fragen!
also bei 1) habe ich die binomische Formel benutzt und bekomme dann folgeneden Term:
[mm] \bruch{(\wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n})(\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n}}{\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n}}
[/mm]
3. binomische formel [mm] (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}:
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n}}
[/mm]
hier steh ich aber leider auf dem Schlauch, wie muss ich weiter vorgehen, damit ich die Wurzel wegbekomme und auf auf den Grenzwert [mm] \bruch{1}{2} [/mm] komme?
zu 2)
Ich verstehe nicht, was mit Zeigen gemeint ist. Muss ich das beweisen? oder einfach nur ein paar Zahlen einsetzen, ich meine es ist doch offensichtlich, dass die divergent ist ?!? Muss ich das vllt iwie mit dem Cauchykriterium zeigen?
zu 3)
Ich habe mir einige Glieder ausgerechnet:
[mm] \pmat{ 1 & \bruch{3}{2} \\ 2 & \bruch{5}{4} \\ 3 & \bruch{17}{16} \\ 4 & \bruch{257}{256} \\ 5 & \bruch{65537}{65536} \\ 6 & \bruch{4294967297}{4294967296} }
[/mm]
ich sehe, dass die Reihe also wohl gegen 1 konvergiert, ich habe aber leider keine Ahnung, wie ich das fomal zeigen kann.
ich verstehe leider nicht wie ich generell an diese aufgabe herangehen soll, vllt hat ja jemand TIPPS für mich für die einzelnen Teilaufgaben?
Ich danke schonmal vielmals für Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Svenman!
Klammere nun im Nenner [mm] $\wurzel{n}$ [/mm] aus und kürze.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner!
danke für deine Antwort, aber anscheinend hab ich grad einen Denkfehler.
Wie soll ich denn in dem Audruck
[mm] \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n}}
[/mm]
die Wurzel im Nenner ausklammern? da steht doch eine Wurzel in einer Wurzel, das wäre ja irgendwas wie
[mm] \wurzel{n}*(..... [/mm] +1)
aber da komm ich ich einfach nicht drauf!
danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Mo 17.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Betrachte mal den Nenner:
[mm] \wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n}
[/mm]
[mm] =\wurzel{n+\bruch{n}{\wurzel{n}}}+\wurzel{n}
[/mm]
[mm] =\wurzel{n(1+\bruch{1}{\wurzel{n}})}+\wurzel{n}
[/mm]
[mm] =\wurzel{n}*\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}}+\wurzel{n}
[/mm]
[mm] =\wurzel{n}*\left(\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}}+1\right)
[/mm]
Und jetzt kannst du Kürzen:
Also:
[mm] \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}*\left(\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}}+1\right)}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}}+1}
[/mm]
Und jetzt kannst du den Grenzwert betrachten.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Svenman_1 |
Danke M.rex!
Das ist wieder so eine Sache gewesen, auf die wäre ich wohl wirklich nie gekommen! und dabei ists doch so leicht wenn mans sieht...
Danke und lg!
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Hallo,
> 2)
> Betrachten Sie die Folge reeller Zahlen und zeigen Sie,
> dass sie divergent ist
> [mm]a_{n}=\wurzel[3]{x}[/mm]
soll es nicht vielleicht [mm]a_{n}=\wurzel[3]{n}[/mm] sein? :)
ich werde weiter mit antwort ja rechnen :)
du hast gesagt, dass es offensichtlich divergiert, ja man sieht, dass es offensichtlich nach unendlich geht. was ist denn der formale mathematische ausdruch dafür, dass die folge nach unendlich geht? und bei dem du zeigen sollst, dass es richtig ist?
gruss strangelet
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ja du hattest recht :P
ich komm echt einfach nicht drauf... :(
ich hab jetzt die ganze Zeit im Internet nach Konvergenzbeweisen gesucht um das hier anzuwenden in der Hoffnung auf einen Widerspruch zu kommen und damit die Divergenz zu beweisen, aber ich kapiers nicht!
ich hatte aber eine andere Idee:
Mann kann ja [mm] \wurzel[3]{n} [/mm] schreiben als
[mm] \bruch{n}{\wurzel[3]{n}}
[/mm]
Daran sieht man ja sofort, dass der Zähler im Unendlichen immer größer ist als der Nenner und damit der ganze Term gegen unendlich gehen muss oder seh ich das falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Mo 17.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> ja du hattest recht :P
>
> ich komm echt einfach nicht drauf... :(
>
> ich hab jetzt die ganze Zeit im Internet nach
> Konvergenzbeweisen gesucht um das hier anzuwenden in der
> Hoffnung auf einen Widerspruch zu kommen und damit die
> Divergenz zu beweisen, aber ich kapiers nicht!
>
> ich hatte aber eine andere Idee:
>
> Mann kann ja [mm]\wurzel[3]{n}[/mm] schreiben als
>
> [mm]\bruch{n}{\wurzel[3]{n}}[/mm]
Das ist doch Unsinn ! Wenn das richtig wäre, so wäre [mm] n^2 [/mm] = [mm] n^3
[/mm]
>
> Daran sieht man ja sofort, dass der Zähler im Unendlichen
> immer größer ist als der Nenner und damit der ganze Term
> gegen unendlich gehen muss oder seh ich das falsch?
Wenn Du zeigen willst, dass [mm] (\wurzel[3]{n}) [/mm] divergiert, so zeige:
Zu jedem C>0 ex. ein N(C) [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \wurzel[3]{n}> [/mm] C für n> N(C).
FRED
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Hey Fred!
Ja das mit dem Bruch ist mir auch nachher aufgefallen, dass das blödsinn ist....
Danke für deine Antwort, ich habe jetzt einen Tag drüber nachgedacht und ich verstehe das zwar, aber ich weiß nicht wie man das formal aufschreiben soll?
Ich kan ja schlecht alle Glieder aufschreiben! ;)
lg
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> Danke für deine Antwort, ich habe jetzt einen Tag drüber
> nachgedacht und ich verstehe das zwar,
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> aber ich weiß nicht
> wie man das formal aufschreiben soll?
???
Fürs formale Aufschreiben hat Dir fred doch 'ne Steilvorlage geliefert.
Wenn Du Dich daran hältst, kann's ja nicht schiefgehen.
Beweise es durch Widerspruch.
Nimm an, daß das, was Du zeigen willst nicht gilt.
Was gilt dann? dann gibt es ein ... mit .....
Formuliere das mal.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela!
also, ich hab jetzt mal folgendes geschrieben:
(von Fred)
(Das groß N hab ich immer noch nich verstanden.. soll das für den Index sein?)
Also so wie ich das verstanden habe:
Zu jedem c [mm] \in \IN [/mm] > 0 ex. ein [mm] c_{n} \in \IN [/mm] mit [mm] \wurzel[3]{c} [/mm] < [mm] \wurzel[3]{c_{n}} [/mm] für c < [mm] c_{n}
[/mm]
Wähle für:
c = 2 < [mm] \wurzel[3]{27}, c_{n}=3
[/mm]
c = 3 < [mm] \wurzel[3]{64}, c_{n}=4
[/mm]
c = 4 < [mm] \wurzel[3]{125}, c_{n}=5
[/mm]
c = 5 < [mm] \wurzel[3]{216}, c_{n}=6
[/mm]
...
...
...
Ich glaub ich verhaspel mich jetzt total, obwohl die Aufgabe total offensichtlich ist, bekomme ich das wohl nicht hin, das auch zu zeigen....
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Hallo,
daß [mm] c_n:=\wurzel[3]{n} [/mm] gegen unendlich geht, scheint Dir ja klar zu sein.
Fred schrieb:
" Wenn Du zeigen willst, dass $ [mm] (\wurzel[3]{n}) [/mm] $ divergiert, so zeige:
Zu jedem C>0 ex. ein N(C) $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ [mm] \wurzel[3]{n}> [/mm] $ C für n> N(C). "
Ich "übersetze" das jetzt mal:
Wenn [mm] \wurzel[3]{n} [/mm] wirklich divergiert,
dann kannst Du Dir eine völlig beliebige (also auch beliebig große) Zahl C ausdenken,
und immer wirst Du eine (dazu passende) natürliche Zahl [mm] N_C [/mm] finden so,
daß für sämtliche n, die größer als diese gefundene Zahl [mm] N_C [/mm] sind, [mm] \wurzel[3]{n} [/mm] größer ist als die Zahl, die Du Dir ausgedacht hast.
So, jetzt gucken wir mal, ob das stimmt.
Ich denke mir eine Zahl aus: C=4711.
Die Frage ist: finden wir ein [mm] N_{4711} [/mm] so, daß für alle n die größer sind, [mm] \wurzel[3]{n} [/mm] > 4711 ist?
Klar! [mm] N_{4711}:=4711^3 [/mm] wäre eine solche Zahl. Denn wenn ich die 3. Wurzel aus einer Zahl ziehe, die größer als [mm] 4711^3 [/mm] ist, ist das Ergebnis größer als 4711.
Um sicher zu sein, müßte ich natürlich jede mögliche Zahl C durchprobieren - was nicht praktikabel ist... Ich müßte mir was anderes ausdenken.
Das, was hier bisher beschrieben wurde, ist die sogenannte "bestimmte Divergenz" gegen [mm] \infty.
[/mm]
Das geht über das hinaus, was von Dir lt, Aufgabenstellung gefordert ist. Du sollst ja lediglich "Divergenz" zeigen, also zeigen, daß die Folge nicht gegen eine reelle Zahl konvergiert. (Vergleiche diese Definition von Divergenz mit der Eurer Vorlesung.)
Das ist hier sehr einfach. Aus Konvergenz folgt Beschränktheit, also folgt aus Nichtbeschränktheit Nichtkonvergenz.
Deine Folge ist offensichtlich nicht beschränkt.
Dies zeigen wir jetzt durch einen Widerspruchsbeweis: wir nehmen an, daß sie beschränkt ist, und führen dies zu einem Widerspruch. (Bzw. Du führst es dann zu einem Widerspruch...)
Zu zeigen: [mm] c_n:=\wurzel[3]{n} [/mm] ist nicht beschränkt, d.h.
für jede Zahl C finden wir ein [mm] N\in \IN [/mm] so, daß [mm] c_N:=\wurzel[3]{N} [/mm] größer als C ist
Beweis durch Widerspruch: Angenommen, die Folge wäre beschränkt.
Dann gibt es eine Zahl C (der Einfachheit halber kann man hier gleich C [mm] \in \IN [/mm] nehmen, überleg Dir, warum.) so,
daß für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt: [mm] \wurzel[3]{n} [/mm] <C .
Diese Annahme ist nun von Dir zum Widerspruch zu führen. Wie? Ziehe eine natürliche Zahl aus dem Hut, deren dritte Wurzel größer als C ist.
Damit ist dann die Beschränktheit widerlegt, und aus der Nichtbeschränktheit kannst Du folgern, daß sie nicht konvergiert, also divergiert.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Svenman_1 |
Hallo Angela!
Jetzt hab ichs endlich begriffen!!
Ich danke dir sehr für deine Geduld und deine ausführliche Erklärung:=) hat mir sehr geholfen!
Liebe Grüße
Sven
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Leider habe ich bei Aufgabe 3 das gleiche Problem. Habe auch bereits einige Glieder ausgerechnet und festgestellt, dass die Folge gegen 1 konvergiert.
Für die Teilaufgaben fehlt mir aber jeglicher Ansatz. Bitte um Tipps.
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> Leider habe ich bei Aufgabe 3 das gleiche Problem. Habe
> auch bereits einige Glieder ausgerechnet und festgestellt,
> dass die Folge gegen 1 konvergiert.
> Für die Teilaufgaben fehlt mir aber jeglicher Ansatz.
> Bitte um Tipps.
Hallo,
.
Na, dann leg mal los!.
Für Aufgabe a) könnte die Scheitelpunktform ein Tip sein.
In Aufgabe b) ist schon gesagt, daß man das mit Induktion machen soll. Teil Dir die Ungleichung in 2 Ungleichungen.
c) Die Vorbereitungen sind in a) und b) getroffen. Warum?
d) Hier mache Dir die Rekursion zunutze, [mm] x_{n+1}=x_n^2-2x_n+2. [/mm] Du weißt aus c), daß die Folge [mm] x_n [/mm] konvergiert, sei [mm] g:=\lim_{n\to \infty}x_n.
[/mm]
e) Hier müßte ich ertmal nachschauen, was mit K-ordnung und -rate gemeint ist. Oder besser: poste mal Eure Definition.
Wenn Du weitere Fragen hast, vergiß bitte nicht mitzuposten, was Du bisher getan hast, und stell konkrete Fragen, an denen man erkennen kann, wo das Problm liegt.
Hinter "fehlt jeglicher Ansatz" können sich ja sehr verschiedene Probleme verbergen.
Gruß v. Angela
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@Angela
Erstmal vielen Dank für deine Tipps.
Jedoch ergeben sich daraus weitere Probleme, die ich nicht lösen kann.
z.B.:
a) Scheitelpunktform wäre ja [mm] (x-1)^{2} [/mm] +1
Somit würde der Scheitepunkt in (1|1) liegen.
1<Q(x) hätte ich damit gezeigt, aber nicht <2.
b) Würde die Ungleichung in 1< [mm] x_{n+1} [/mm] und [mm] x_{n+1}< x_{n}
[/mm]
aufteilen.
Beim I.A. mit x= 1 ergibt sich dann aber bei mir schon die Schwierigkeit:
1 < [mm] 1^{2} [/mm] - 2x +2 = 1 und somit ein Widerspruch.
c) Wenn ich in a) und b) nachweisen könnte, dass die Folge konvergent und beschränkt wäre, so würde sie ja auch konvergieren...
Bitte um weitere Hilfe. Vielen Dank im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Do 20.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
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> a) Scheitelpunktform wäre ja [mm](x-1)^{2}[/mm] +1
> Somit würde der Scheitepunkt in (1|1) liegen.
> 1<Q(x) hätte ich damit gezeigt, aber nicht <2.
Natuerlich brauchst du da noch dass 1<x<2 ist!
> b) Würde die Ungleichung in 1< [mm]x_{n+1}[/mm] und [mm]x_{n+1}< x_{n}[/mm]
>
> aufteilen.
> Beim I.A. mit x= 1 ergibt sich dann aber bei mir schon die
> Schwierigkeit:
> 1 < [mm]1^{2}[/mm] - 2x +2 = 1 und somit ein Widerspruch.
in a) hast du doch gezeigt, x>1 also ist [mm] x\le1 [/mm] ohne bedeutung
> c) Wenn ich in a) und b) nachweisen könnte, dass die Folge
> konvergent und beschränkt wäre, so würde sie ja auch
> konvergieren...
Ja!
in b musst du a) benutzen!
Gruss leduart
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zeige ich in a) nicht nur, dass es x [mm] \ge1 [/mm] ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Do 20.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
in a) stand
1 < x < 2 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ 1 < Q(x) <2
und dein Anfangs x ist ja zwischen 1 und 2 damit ja dann alle folgenden auch.
Aufgaben genau lesen!
Gruss leduart
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