3 Punkte in Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Sa 08.10.2005 | | Autor: | Suinatas |
Hey ho,
stecke gerade an einer Matheaufgabe fest und dachte vielleicht hat ja einer von euch eine Idee.
Die Aufgabe lautet folgendermaßen:
Gegeben sind drei Punkte A B und C, die nicht auf einer gemeinsamen Geraen liegen. [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} [/mm] sind die Ortsvektoren der Punkte. Bestimmen Sie mithilfe einer Zeichnung, welche Punkte der Ebene E: [mm] \vec{x}= \vec{a}+r*( \vec{b}- \vec{a}) [/mm] + s*( [mm] \vec{c}- \vec{a}) [/mm] festgelegt werden durch die Bedingung
r+s=1.
Mein Problem ist, dass ich nicht weiss, wie ich überhaupt eine Zeichnung anfertigen soll. Wenn ich den Term formal auflöse, komme ich auch nicht weiter! Hat jemand von euch eine Idee?
THX
Suinatas
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Hallo!
Du hast r+s=1, also ist r=1-s.
Damit gilt:
$$ [mm] \vec{x}= \vec{a}+r*( \vec{b}- \vec{a}) [/mm] + s*( [mm] \vec{c}- \vec{a}) [/mm] $$
[mm] $$=\vec{a}+(1-s)*( \vec{b}- \vec{a}) [/mm] + s*( [mm] \vec{c}- \vec{a}) [/mm] $$
[mm] $$=\vec{a}+ \vec{b}-s*\vec{b}- \vec{a}+s*\vec{a} [/mm] + s* [mm] \vec{c}-s* \vec{a} [/mm] $$
[mm] $$=\vec{b}+s*(\vec{c}-\vec{b})$$
[/mm]
Und das ist ja die Gerade von b nach c!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Sa 08.10.2005 | | Autor: | Suinatas |
Hey,
danke erstmal für die schnelle Antwort. Das ist logisch und macht Sinn!
Leider gibt es noch einen Aufgabenteil c und d den ich nicht verstehe!
Statt der Bedingung r+s=1 heißt es in
c) 0 [mm] \ler \le1 [/mm] und in d)0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le1 [/mm] und 0 [mm] \le [/mm] s [mm] \le1
[/mm]
Da kann ich ja schließlich nicht mehr direkt einsetzen!
In c) kann r ja nicht negativ werden was bedeutet, dass sich die Richtung nicht wechseln kann und da r nicht größer 1 werden kann wird der Vektor in der Klammer auch nicht größer als seine Ausgangsform, aber was kann ich damit anfangen?
THX
Suinatas
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Hallo!
Falls in c) nicht mehr r+s=1, sondern $ 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1$ gilt, so haben wir keine komplette Ebene, sondern nur einen Streifen. Von A nach C geht es auch über die Punkte A und C hinaus, d.h. da haben wir eine Gerade, weil s jeden Wert annehmen kann. Aber weil r zwischen 0 und 1 liegt, geht man von A in Richtung B nicht weiter als B, also hat man da nur die Strecke AB.
Ohne Bild schwer zu beschreiben... sorry.
Der Ausdruck a+s(b-a) heißt ja gerade, dass man bei A startet und dann s Einheiten in Richtung B geht. Wenn s=1 ist, dann hat man ja
a+s(b-a)=a+(b-a)=b, also kommt man bei B raus. Geht man 0 Einheiten in diese Richtung hat man a+s(b-a)= a+0(b-a)=a, also geht man gar nicht. Alles was zwischen 0 und 1 liegt, ist also dazwischen auf der Strecke. Alles was kleiner als 0 ist, liegt vor A, alles was größer als 1 ist, liegt hinter B.
Bei d) hat man dann ja $0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le1$ [/mm] und $0 [mm] \le [/mm] s [mm] \le1$, [/mm] das bedeutet, dass man tatsächlich nur das Parallelogramm hat, weil man nicht über B nach rechts hinausgeht und nicht über C hinaus nach oben, und weil beide Parameter größer gleich 0 sind, geht man auch nicht zurück...
OK??
Ich hoffe, ich konnte das irgendwie erklären...
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