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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Sa 05.06.2004 | | Autor: | pfote |
- wann drehe ich > < ??
- wie gehe ich für Intervalle in diesem Fall vor:
[mm] 0,375x^2 [/mm] 3x + 4 > 0
ebenso geht ja dann
[mm] 0,375x^2 [/mm] 3x + 4 < 0
- Folgende Polynomdivision:
[mm] (x^3 [/mm] [mm] 10x^2 [/mm] + 32x 32) : (4 x) = ????
bitte in ausführlicher Form, wenns geht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 So 06.06.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo Pfote,
wenn du mehrere Fragen hast, die miteinander direkt nichts zu tun haben, stelle diese bitte auch in einzelnen Artikeln.
> - wann drehe ich > < ??
Du meinst, bei welchen Umformungen man die Richtung der Ungleichung drehen muss? Multiplikation oder Division mit negativen Zahlen. Ein schönes Beispiel:
[mm]-2x<7 \qquad \backslash +2x\\
0<7+2x \qquad \backslash-7\\
-7<2x \qquad \backslash \mbox{Seiten vertauschen}\\
2x>-7[/mm]
Jetzt haben wir praktisch die Multiplikation mit $(-1)$ simuliert, indem wir beide Seiten durch Addition/Subtraktion vertauscht haben. Wie Du siehst, ändert sich dabei das Vorzeichen.
> - wie gehe ich für Intervalle in diesem Fall
> vor:
> [mm] 0,375x^2 [/mm] 3x + 4 > 0
> ebenso geht ja dann
> [mm] 0,375x^2 [/mm] 3x + 4 < 0
Hier kann ich leider nicht sehen, was Du genau wissen willst.
> - Folgende Polynomdivision:
> [mm] (x^3 [/mm] [mm] 10x^2 [/mm] + 32x 32) : (4 x) = ????
> bitte in ausführlicher Form, wenns geht
Gegenvorschlag. Schau' Dir bitte einmal diesen Thread an und versuche die Polynomdivision dort nachzuvollziehen. Dann probiere es bei Deiner Aufgabe analog und stelle hier Deine (Teil-)Ergebnisse zur Kontrolle rein.
P.S.: Da 4 eine Nullstelle Deines Polynoms ist, ist die Polynomdivision ohne Rest durchführbar.)
Gute Nacht
Oliver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:41 So 06.06.2004 | | Autor: | pfote |
zu intervalle, ist gemeint in welchem bereich fällt oder steigt und da halt von wo bis wo angeben!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 So 06.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Pfote!
Du hast also eine quadratische Funktion der Form
$f(x) = [mm] ax^2 [/mm] + bx + c$
und willst wissen, in welchen Teilintervallen $f>0$ und $f<0$ gilt.
Habe ich das richtig verstanden?
Du musst folgendes machen:
Bestimme zunächst (z.B. mit Hilfe der $p$-$q$-Formel) die Nullstellen von $f$. Wir nehmen jetzt man an (denn das ist der interessanteste Fall), dass $f$ genau zwei Nullstellen hat, die wir mit [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] bezeichnen. Es gelte: [mm] $x_1 [/mm] < [mm] x_2$, [/mm] d.h. [mm] $x_1$ [/mm] sei die kleinere der beiden Nullstellen. Dann kann man $f$ in seine Linearfaktoren zerlegen, und kann dementsprechend $f$ wie folgt schreiben:
$f(x) = a [mm] \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)$.
[/mm]
Nun musst du drei Bereiche betrachten:
(1) [mm] $I_1=]-\infty,x_1[$ [/mm] , also alle Zahlen, die kleiner als [mm] $x_1$ [/mm] sind
(2) [mm] $I_2 [/mm] = [mm] ]x_1,x_2[$, [/mm] also alle Zahlen zwischen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$
[/mm]
(3) [mm] $I_3 [/mm] = [mm] ]x_2,+\infty[$, [/mm] also alle Zahlen, die größer als [mm] $x_2$ [/mm] sind.
Wie sieht das Vorzeichen in diesen drei Intervallen aus?
Schauen wir uns die Darstellung mal an:
$f(x) = a [mm] \cdot (x-x_1) \cdot (x_x_2)$.
[/mm]
1. Fall: $a>0$
Für $x [mm] \in I_1 [/mm] = [mm] ]-\infty,x_1[$, [/mm] also: [mm] $x
[mm]f(x) = \underbrace{a}_{>\, 0} \cdot \underbrace{(x-x_1)}_{<\, 0} \cdot \underbrace{(x-x_2)}_{<\, 0} >0[/mm],
denn ein Produkt aus drei Faktoren ist positiv, wenn einer der beiden Faktoren positiv und die anderen beiden negativ sind.
Für $x [mm] \in I_2 [/mm] = [mm] ]x_1,x_2[$, [/mm] also: [mm] $x_1 [/mm] < [mm] x
[mm]f(x) = \underbrace{a}_{>\, 0} \cdot \underbrace{(x-x_1)}_{>\, 0} \cdot \underbrace{(x-x_2)}_{<\, 0} <0[/mm],
denn ein Produkt aus drei Faktoren ist negativ, wenn zwei der drei Faktoren positiv und der dritte Faktor negativ sind.
Für $x [mm] \in I_3 [/mm] = [mm] ]x_2,+\infty[$, [/mm] also: [mm] $x>x_2$, [/mm] ist
[mm]f(x) = \underbrace{a}_{>\, 0} \cdot \underbrace{(x-x_1)}_{>\, 0} \cdot \underbrace{(x-x_2)}_{>\, 0} >0[/mm],
denn ein Produkt aus drei Faktoren ist positiv, wenn alle drei Faktoren positiv sind.
2. Fall: $a<0$
Für $x [mm] \in I_1 [/mm] = [mm] ]-\infty,x_1[$, [/mm] also: [mm] $x
[mm]f(x) = \underbrace{a}_{<\, 0} \cdot \underbrace{(x-x_1)}_{<\, 0} \cdot \underbrace{(x-x_2)}_{<\, 0} <0[/mm],
denn ein Produkt aus drei Faktoren ist negativ, wenn alle drei Faktoren negativ sind.
Für $x [mm] \in I_2 [/mm] = [mm] ]x_1,x_2[$, [/mm] also: [mm] $x_1 [/mm] < [mm] x
[mm]f(x) = \underbrace{a}_{<\, 0} \cdot \underbrace{(x-x_1)}_{>\, 0} \cdot \underbrace{(x-x_2)}_{<\, 0} >0[/mm],
denn ein Produkt aus drei Faktoren ist positiv, wenn einer der drei Faktoren positiv und die anderen beiden Faktoren negativ sind.
Für $x [mm] \in I_3 [/mm] = [mm] ]x_2,+\infty[$, [/mm] also: [mm] $x>x_2$, [/mm] ist
[mm]f(x) = \underbrace{a}_{<\, 0} \cdot \underbrace{(x-x_1)}_{>\, 0} \cdot \underbrace{(x-x_2)}_{>\, 0} <0[/mm],
denn ein Produkt aus drei Faktoren ist negativ, wenn zwei der drei Faktoren positiv und der dritte Faktor negativ sind.
Beispiel: [mm] $\blue{f(x) = 2x^2 - 2x-4}$
[/mm]
Die beiden Nullstellen von $f$ rechne ich mit der $p$-$q$-Formel aus:
Zunächst gilt (wir müssen normieren):
$0=f(x) = [mm] 2x^2 [/mm] - 2x - 4$ [mm] $|\, [/mm] :2$
$0 = [mm] x^2 [/mm] - x - 2$
Nun die $p$-$q$-Formel:
[mm]x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}[/mm],
also:
[mm] $x_1 [/mm] = -1$ und [mm] $x_2 [/mm] = 2$.
Wir erhalten also:
$f(x) = 2 [mm] \cdot [/mm] (x+1) [mm] \cdot [/mm] (x-2)$.
Für $x [mm] \in I_1 [/mm] = [mm] ]-\infty,-1[$, [/mm] also: $x<-1$, ist
[mm]f(x) = \underbrace{2}_{>\, 0} \cdot \underbrace{(x+1)}_{<\, 0} \cdot \underbrace{(x-2)}_{<\, 0} >0[/mm],
denn ein Produkt aus drei Faktoren ist positiv, wenn einer der drei Faktoren positiv und die anderen beiden Faktoren negativ sind.
Für $x [mm] \in I_2 [/mm] = ]-1,2[$, also: $-1 < x<2$, ist
[mm]f(x) = \underbrace{2}_{>\, 0} \cdot \underbrace{(x+x_1)}_{>\, 0} \cdot \underbrace{(x-2)}_{<\, 0} <0[/mm],
denn ein Produkt aus drei Faktoren ist negativ, wenn zwei der drei Faktoren positiv und der dritte Faktor negativ sind.
Für $x [mm] \in I_3 [/mm] = [mm] ]2,+\infty[$, [/mm] also: $x>2$, ist
[mm]f(x) = \underbrace{2}_{>\, 0} \cdot \underbrace{(x+1)}_{>\, 0} \cdot \underbrace{(x-2)}_{>\, 0} >0[/mm],
denn ein Produkt aus drei Faktoren ist positiv, wenn alle drei Faktoren positiv sind.
Alles klar? 
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
Melde dich doch einfach wieder bei Rückfragen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:54 So 06.06.2004 | | Autor: | pfote |
ich habe den fehler gefunden, denn es muss heißen x-4 und net 4-x!
[mm] (x^3 [/mm] [mm] 10x^2 [/mm] + 32x 32) : (x - 4) = [mm] x^2 [/mm] - 6x - 8
[mm] -(x^3 [/mm] 4 [mm] x^2)
[/mm]
0 - 6 [mm] x^2 [/mm] + 32x 32
- ( - 6 [mm] x^2 [/mm] + 24x)
0 - 8x 32
- (-8x + 32)
0
[mm] x^2 [/mm] - 6x 8 = 0
D = ....
x1 = ....
x2 = ....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 So 06.06.2004 | | Autor: | Eva |
Guten Morgen Pfote,
> ich habe den fehler gefunden, denn es muss heißen x-4 und
> net 4-x!
>
> [mm] (x^3 [/mm] [mm] 10x^2 [/mm] + 32x 32) : (x - 4) = [mm] x^2 [/mm] - 6x - 8
> [mm] -(x^3 [/mm] 4 [mm] x^2)
[/mm]
> 0 - 6 [mm] x^2 [/mm] + 32x 32
> - ( - 6 [mm] x^2 [/mm] + 24x)
> 0 - 8x 32
> - (-8x + 32)
> 0
> [mm] x^2 [/mm] - 6x 8 = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Spitze, alles richtig gerechnet!
Nun, ist es aber doch gar nicht mehr schwer.
Du kennst doch bestimmt die PQ- Formel, oder?
Mit dieser Formel, kannst Du die Gleichung jetzt ohne Probleme lösen.
Ich erkläre Dir, wie das funktioniert:
Du brauchst die quadratische Gleichung in normierter Form:
[mm] $x^2+px+q=0$ [/mm] (liegt ja bei unserer Gleichung schon vor)
Diese wendest Du dann wie folgt an:
[mm] $x_{1;2}=(-\bruch{p}{2})\pm\wurzel{(\bruch{p}{2})^2-q}$ [/mm]
Versuchst Du mal Deine Gleichung anhand der Formel zu lösen? Wenn Du das gemacht hast, schreibe uns doch hier bitte Deine Ergebnisse, dann können wir sie vergleichen!
Viel Erfolg
liebe Grüße,
Eva
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 So 06.06.2004 | | Autor: | pfote |
ich würde das eher dann immer mit der diskriminante machen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 So 06.06.2004 | | Autor: | Eva |
> ich würde das eher dann immer mit der diskriminante
> machen!
Was sind dann Deine Ergebnisse?
Gruß,
Eva
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