3 Gleichungen, 4 Unbekannte < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Do 13.11.2014 | | Autor: | Manu3911 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems für alle [mm] \lambda\in\IR:
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & | 2 \\
2 & 3 & -3 & -2 & | 4 \\
-3 & -5 & 4 & 1 & | \lambda
\end{pmatrix} [/mm] |
Hallo,
ich komme bei dem folgenden Gleichungssystem nicht auf die Lösungsmenge.
Ich habe es soweit umgestellt:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & | 2 \\
0 & -3 & -1 & -4 & | 0 \\
0 & -2 & 0 & 0 & | \lambda+6
\end{pmatrix}
[/mm]
Anhand der dritten Zeile kann ich ja [mm] x_2 [/mm] bestimmen:
[mm] x_2 [/mm] = [mm] -\bruch{\lambda+6}{2}
[/mm]
Wie gehe ich jetzt weiter vor um rauszubekommen, ob das GLS keine oder unendlich viele Lösungen hat?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
Gruß Manu
PS: Wie macht man in einer GLS-Matrix einen senkrechten Strich, der über alle Zeilen hinweg geht? :p
|
|
| |
|
Hallo Manu3911,
> Ermitteln Sie die Lösungsmenge des folgenden
> Gleichungssystems für alle [mm]\lambda\in\IR:[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & | 2 \\
2 & 3 & -3 & -2 & | 4 \\
-3 & -5 & 4 & 1 & | \lambda
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich komme bei dem folgenden Gleichungssystem nicht auf die
> Lösungsmenge.
> Ich habe es soweit umgestellt:
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & | 2 \\
0 & -3 & -1 & -4 & | 0 \\
0 & -2 & 0 & 0 & | \lambda+6
\end{pmatrix}[/mm]
>
Das stimmt nicht.
Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
> Anhand der dritten Zeile kann ich ja [mm]x_2[/mm] bestimmen:
> [mm]x_2[/mm] = [mm]-\bruch{\lambda+6}{2}[/mm]
>
> Wie gehe ich jetzt weiter vor um rauszubekommen, ob das GLS
> keine oder unendlich viele Lösungen hat?
>
> Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
>
> Gruß Manu
>
> PS: Wie macht man in einer GLS-Matrix einen senkrechten
> Strich, der über alle Zeilen hinweg geht? :p
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Do 13.11.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Danke, hab nochmal nachgerechnet und bin jetzt bei:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & | 2 \\
0 & -3 & -1 & -4 & | 0 \\
0 & -1 & 1 & 0 & | 2\lambda+12
\end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt weiß ich aber gerad überhaupt nicht mehr, wie bzw. wo ich weitermachen sollte?
Vielen Dank!
Gruß Manu
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Do 13.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke, hab nochmal nachgerechnet und bin jetzt bei:
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & | 2 \\
0 & -3 & -1 & -4 & | 0 \\
0 & -1 & 1 & 0 & | 2\lambda+12
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Jetzt weiß ich aber gerad überhaupt nicht mehr, wie bzw.
> wo ich weitermachen sollte?
Du kannst Dich
![[]](/images/popup.gif) hieran (klick!)
orientieren!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Do 13.11.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo,
also dem Link entnehme ich, dass das GLS unendlich viele Lösungen hat, da es mehr Unbekannte als Gleichungen gibt. Aber wie berechne ich das bzw. wie gebe ich jetzt die Lösungsmenge an? Muss ich mit dem [mm] \lamda [/mm] noch was beachten?
Gruß Manu
|
|
|
| |
|
Hallo
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -3 & -2 & 4 \\ -3 & -5 & 4 & 1 & \lambda }
[/mm]
bilde eine neue 2. Zeile:
2 mal Zeile 1 minus Zeile 2
bilde eine neue 3. Zeile:
3 mal Zeile 1 plus Zeile 3
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 4 & 6+\lambda }
[/mm]
eigentlich reicht dieser Schritt, du kannst aber erneut eine neue 3. Zeile bilden:
Zeile 3 minus Zeile 2
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6+\lambda }
[/mm]
jetzt untersuche
1. Fall: [mm] \lambda=-6
[/mm]
2. Fall: [mm] \lambda\not=-6
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Do 13.11.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Vielen vielen Dank,
du hast mein Fehler aufgedeckt. Ich hab das GLS dreimal vereinfacht und immer eine Zahl falsch addiert... also für [mm] \lambda [/mm] = -6 erhalte ich 0=0, also gibts unendlich viele Lösungen.
Für [mm] \lambda \ne [/mm] -6 erhalte ich 0=iwas (wie schreibt man das mathematisch korrekt? 0 = v mit v [mm] \in \IR [/mm] und v [mm] \ne [/mm] 0?)
Wie schreibt man jetzt für beide Fälle die Lösungsmenge korrekt auf? Kann man jetzt parametrisieren, zb [mm] x_3=s, x_4=t [/mm] mit s,t [mm] \in \IR [/mm] und dann das in Gleichung zwei und eins einsetzen und nach [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] umstellen?
Gruß Manu
|
|
|
| |
|
> Ermitteln Sie die Lösungsmenge des folgenden
> Gleichungssystems für alle [mm]\lambda\in\IR:[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & | 2 \\
2 & 3 & -3 & -2 & | 4 \\
-3 & -5 & 4 & 1 & | \lambda
\end{pmatrix}[/mm]
> PS: Wie macht man in einer GLS-Matrix einen senkrechten
> Strich, der über alle Zeilen hinweg geht? :p
Hallo Manu,
dazu solltest du dich mal mit dem Thema "Tabellen
in LaTeX" beschäftigen. Falls Englisch für dich kein
Hindernis ist, z.B. da: LaTeX/Tables
Andernfalls findest du im Netz auch Quellen mit
deutschsprachigen Erläuterungen.
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
Hallo,
gerade habe ich noch im Wikipedia-Artikel über Lineare
Gleichungssysteme ein Beispiel gefunden, das exakt
auf deine Matrix passt und dessen LaTeX-Code ich
kopieren konnte. Ich habe ihn jetzt noch in ganz
übersichtliche Form gebracht.
Code:
| 1: | $\left(\begin{array}{c|c}
| | 2: | A & b
| | 3: | \end{array}\right)
| | 4: |
| | 5: | = \left(\begin{array}{cccc|c}
| | 6: | a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\
| | 7: | a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\
| | 8: | \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\
| | 9: | a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m
| | 10: | \end{array}\right)$ |
Resultat:
[mm] $\left(\begin{array}{c|c}A & b\end{array}\right) [/mm] = [mm] \left(\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right)$ [/mm]
LG , Al-Chw.
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
