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3 Ebenen im Rechten Winkel?: Korrektur+Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Di 28.03.2006
Autor: Auric

Aufgabe
Gegeben seien dei Ebeneb E1 x-y+z=3 und E2 2x-y-3z=1
a) Welchen Winkel schließen die beiden Ebenen ein.
b) Parameterdarstellung der Schnittgeraden von E1 und E2
c) Gleichung der Ebene E3 die senktrecht zu E1 und senkrecht zu E2 ist und in der der Punkt P1 (1,-1,-1) liegt

So jetzt meine Frage. Ich errechner bei a) das die beiden Ebenen den Winkel 90° einschließen, also senkrecht sind.
Somit kann doch c) unmöglich sein, richtig?
Frage zu b). Was is die Parameterform? Ich hab mir das nicht aufgeschrieben. Is das einfach dei zeichnerische Darstellung?

Danke schon mal.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
3 Ebenen im Rechten Winkel?: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:10 Di 28.03.2006
Autor: Loddar

Hallo Auric,

[willkommenmr] !



> So jetzt meine Frage. Ich errechner bei a) das die beiden
> Ebenen den Winkel 90° einschließen, also senkrecht sind.

[ok] Das habe ich auch erhalten.


> Somit kann doch c) unmöglich sein, richtig?

Doch! Bestimme doch mal einen Vektor, der auf beide Normalenvektoren der beiden Ebenen senkrecht steht.

Im [mm] $\IR^3$-Raum [/mm] ist das sehr gut möglich: stelle Dir doch einfach mal die drei Koordinatenebenen im Urspung vor. Das ist genau dieselbe Situation!


> Frage zu b). Was is die Parameterform? Ich hab mir das
> nicht aufgeschrieben.

Parameterform einer Geraden im [mm] $\IR^3$ [/mm] :   $g \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vec{a}+r*\vec{b} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{a_x\\a_y\\a_z}+r*\vektor{b_x\\b_y\\b_z}$ [/mm]


Gruß
Loddar

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3 Ebenen im Rechten Winkel?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 Di 28.03.2006
Autor: Auric

Aha. Ich hab mir irgendwei nur die Ebenen 3D vorgestellt.
Ok, nur Leider komm ich trozdem nicht weiter.
Ich kann zwar für n von E3 2 Gleichungen bilden mit n1*n3=0 und n2*n3=0 aber dann fehlt mir ja noch eine dritte Gleichung weil ich darauß 3 Variabeln bekomme. Wenn ich versuchen mit dem Punkt P1 über (r-r1)*n=0 zu machen bekomme ich noch mehr Variabeln.
Gibt es da irgendein Verhältnis mit dem ich eine 3 Gleichung bekomme, oder is mein Ansatz schon falsch?
Sry wenn ich das auch noch Frage, aber was wird mti der Schnittgeraden gemeint? Ist das die Gerade welche durch die n1 und n2 dann verläuft? Oder durch 2 beliebige Punkte in den beiden Ebenen?
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3 Ebenen im Rechten Winkel?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 Di 28.03.2006
Autor: DaMenge

Hi,

wegen der c) kannst du auch mal in DIESEM Thread schauen, da gibt es mehrere Möglichkeiten auf die dritte Ebene zu kommen.
Auch die aktuelle wird dort an dem Beispiel gemacht.

Zu der anderen Frage : die Schnittgerade zweier Ebenen ist die Gerade, die in beiden Ebenen gleichzeitig liegt.
(Wenn du zwei Blatt Papier aneinanderhälst und dir vorstellst, dass sie einander durchdringen könnten, siehst du, dass es immer eine Schnittgerade gibt, wenn die Ebenen nicht parallel sind)

Berechnen kann man die Schnittgerade, indem du beide Ebenen einfach gleich setzt.
Sind beide Ebenen in der Parameterform sieht man schön, dass du 4 Variablen und 3 Gleichungen hast (pro Komponente der Vektoren), d.h. du bekommst alles in Abhängigkeit einer Variablen raus, was dann deiner Geraden entspricht.

viele Grüße
DaMenge
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3 Ebenen im Rechten Winkel?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:14 Di 28.03.2006
Autor: Auric

Aha. Naja auf der Schule war das irgendwie anders erklärt, bzw definiert.
Danke für dei Hilfe!
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3 Ebenen im Rechten Winkel?: Rückfrage
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:45 Di 28.03.2006
Autor: Auric

Ok ich hab das jetzt wie folgt gerechnet, hat mir dann doch keien Ruhe gelassen :):
für b)
Gleichsetzten
darauß hab ich die drei Gleichung
x-y+z=3
2x-y-3z=1
-x+4z=2
darauß erhalte ich für z=0, x=-2, y=-5
So wie ich das in die Parameterform bekomme hab ich keine Schimmer.
c) wie oben hab ich n1*n3 und n2*n3 Gleichgesetzt n3 sich auf beide Ebenen bezieht.
Dann
1 -1  1    0
2 -1 -3    0
-1  0   4   0

man erhält dann
1  0   -4   0
-1 0    4   0

somit kann man z z.b den wer  [mm] \lambda [/mm] geben wobei  [mm] \lambda \varepsilon [/mm] R belibig ist

also erhält man zum Schluß: -4  [mm] \lambda,-3 \lambda, \lambda [/mm]
Also das muss stimmenich hab die Probe gemacht :)

Um E3 auf Parameterform zu bringen: P1 muss in E3 liegen=> Skalarprodukt aus n3 und P1 (also Vekoren, P1= Orstvekter r)
und man erhält -2
E3 ist somit  [mm] \vektor{-4 \lambda \\ -3 \lambda\\ \lambda} \vec{x} [/mm] = -2

Ok dann noch eine Frage :)
Die hesse´sche Normalform, wie drück ich die aus von E3?
Knan ich damit auch den Abstand von E3 zum Nullpunkt bestimmen?
Bezug
                                
Bezug
3 Ebenen im Rechten Winkel?: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Fr 31.03.2006
Autor: matux

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