3D Flaechentraegheit Koerper < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein Rohr der Dichte 1kg/m verlauft vom Ursprung 3m in die Y Achse dann 90 grad nach oben 2 m in die Z-Richtung und danach 1 m in die X-Richtung. Es ist also ein zusammengesetztes Rohr mit konstanter Massenverteilung. Bestimmen sie das Flaechentraegheitsmoment zum Ursprung. |
Hallo, leider hänge ich hier fest.
Ich weiss das I eines Rohres [mm] m*L^2/12 [/mm] ist ,
damit bekomme ich für die einzelnen Rohre:
1. 2.25
2. 2/3
3. 1/12
Jetzt dachte ich , ich brauch ja noch die Verschiebung des Schwerpunktes zum Ursprung. dafür bekomme ich
y = 2.25
x = 1/12
z = 2/3
Wie bringe ich das jetzt zusammen ? weiss das jemand ?
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Hallo!
Ich frage erstmal, worum es hier überhaupt geht.
- Um ein Trägheitsmoment, das bei Rotation eine Rolle spielt, oder
- um das Flächenträgheitsmoment, das bei der Festigkeit, also bei Biegung unter Krafteinfluss eine Rolle spielt.
Letzteres ist dem Trägheitsmoment sehr ähnlich, kommt aber ohne Massen aus, daher wundert mich die Angabe der Masse.
Und dann wird hier einfach nach dem Moment bezüglich des Ursprungs gefragt. Ohne eine Drehachse (oder Richung, in die eine Kraft wirken soll) anzugeben, kann man da keinen Zahlenwert angeben, sonder einen Tensor (3x3-Matrix) , den (Flächen)trägheitstensor.
Für den Trägheitstensor I gilt z.B.:
$ I = [mm] \int \rho \begin{pmatrix} y^2+z^2 & -x y & -x z \\ -y x & x^2+z^2 & -y z \\ -z x & - z y & x^2+y^2 \\ \end{pmatrix} \,dx\,dy\,dz$
[/mm]
Du mußt hier also neun Integrale berechnen. Betrachte mal den Wert oben rechts:
[mm] $I_{1;1} [/mm] = [mm] \int \rho (y^2+z^2)\,dx\,dy\,dz$
[/mm]
Da du ein dünnes Rohr hast, für das nur eine Masse pro Länge, also eine Streckendichte [mm] \lambda=1kg/m [/mm] gegeben ist, kannst du das für das erste Rohr vereinfachen:
[mm] $I_{1;1}^{Rohr1} [/mm] = [mm] \int \lambda (y^2+z^2)\,dy$ [/mm] denn das Rohr verläuft ja nur entlang der Y-Achse.
Nun verläuft das Rohr von y=0 bis y=3, und z ist die ganze Zeit =0:
[mm] $I_{1;1}^{Rohr1} [/mm] = [mm] \int_0^3 \lambda y^2\,dy=\lambda*\left[\frac{1}{3} y^3\right]_0^3$
[/mm]
Jetzt das zweite Rohr, welches 2m in z-Richung verläuft.
[mm] $I_{1;1}^{Rohr2} [/mm] = [mm] \int_0^2 \lambda (y^2+z^2)\,dz$
[/mm]
Die y-Koordinate ist die ganze Zeit =3, also
[mm] $I_{1;1}^{Rohr2} [/mm] = [mm] \int_0^2 \lambda (3^2+z^2)\,dz=\lambda*\left[3^2z+\frac{1}{3}z^3 \right]_0^2$
[/mm]
Für das dritte Rohr gilt
[mm] $I_{1;1}^{Rohr3} [/mm] = [mm] \int_0^1 \lambda (y^2+z^2)\,dx$
[/mm]
wobei y=3 und z=2 gilt. Also
[mm] $I_{1;1}^{Rohr3} [/mm] = [mm] \lambda \left[3^2x+2^2x\right]_0^1$
[/mm]
Insgesamt ergibt sich dann für die Komponente oben links in dem Tensor
[mm] I_{1;1}=I_{1;1}^{Rohr1}+I_{1;1}^{Rohr2}+I_{1;1}^{Rohr3}
[/mm]
Diese Rechnung mußt du insgesamt sechs mal machen, denn die Werte, die links unten im Tensor stehen, tauchen oben rechts nochmal auf.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:45 Sa 14.12.2013 | | Autor: | Traumfabrik |
Vielen Vielen Dank für diese unglaublich gute Erklärung !!!
Leider habe ich anscheinend die zwei diagonalen Komponenten der Matrix falsch.
ich habe folgendes gemacht:
[mm] x^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] :
Rohr 1 hat keine Komponente in x oder z also ist es 0
Rohr 2 hat nur Komponente in z also integral von 0 bis 2 von 1/3 [mm] z^3 [/mm] = 8/3
Rohr 3 hat z =2 und integral von 0 bis 1 von [mm] 4x+1/3x^3 [/mm] = 4 1/3
Macht insgesamt 7
[mm] x^2+y^2 [/mm] :
Rohr 1 : integral von 0 bis 3 von 1/3 y ^3 = 9
Rohr 2 : x= 0 y = 3 eingesetzt gibt = 9
Rohr 3 : y=3 integriert 9x + [mm] 1/3x^3 [/mm] von 0 bis 1 = 9 1/3
Ingesamt 27 1/3
Wo ist mein Fehler hier ?
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Habe meine Fehler gefunden :)
Nochmals vielen vielen dank für die perfekte Erläuterung !!!!
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