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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 So 28.08.2005 | | Autor: | zlata |
Hallo!
Ich habe den Funktionsterm f [mm] (x)_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} x^{3}-4k^{2}x+\bruch{16}{3}k [/mm] gegeben. Wie kann ich einen Wert für k ermitteln, dass alle k im dritten Quadranten liegen?
Danke
Zlata
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 So 28.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Ich habe den Funktionsterm f [mm](x)_{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} x^{3}-4k^{2}x+\bruch{16}{3}k[/mm]
> gegeben. Wie kann ich einen Wert für k ermitteln, dass alle
> k im dritten Quadranten liegen?
Du meinst sicher, dass alle y im dritten Quadranten liegen? Jedenfalls kann ich mir unter deiner Formulierung nichts vorstellen... Allerdings geht das wohl auch nur für alle x<0, denn ansonsten lägen die Werte ja im 4. Quadranten. Oder ich verstehe deine Aufgabe nicht richtig.
Jedenfalls würde ich das mal so angehen, dass du eine Nullstelle der Funktion berechnest, denn 3. Quadrant bedeutet ja, dass die Funktion <0 ist.
Hoffe, ich konnte dir ein bisschen helfen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hi, Zlata,
Bastiane hat Recht: Der Graph der Funktion kann allenfalls für x < 0 im III. Quadranten liegen.
(1) Aus einer Skizze der Situation wird zunächst mal klar, dass der Graph "von links unten kommt und nach rechts oben verschwindet". Soll er also links ausschließlich unterhalb der x-Achse liegen, darf der Schnittpunkt mit der y-Achse nicht [mm] \ge [/mm] 0 sein; heißt: k muss schon mal negativ sein: k<0.
(2) Eine weitere Überlegung sagt, dass der Graph der Funktion punktsymmetrisch zu S(0; [mm] \bruch{16}{3}k) [/mm] liegt; daher liegen (falls sie existieren) auch die Extrempunkte zu S symmetrisch und zwar links der HP, rechts der TP.
(3) Die Extrempunkte lassen sich über die 1. Ableitung berechnen. Der Hochpunkt hat die x-Koordinate x=2k. (Beachte, dass wegen (1) k<0 sein muss!); seine y-Koordinate muss nun ebenfalls <0 sein, damit er UNTERHALB der x-Achse liegt: Wie sollte dieser Kurventeil denn sonst vollständig unterhalb liegen?!
Aus f(2k)<0 hab' ich nun errechnet: [mm] k(1-k^{2})<0.
[/mm]
k<0 ergibt: -1 < k < 0
Aber: Keine Garantie für mögliche Rechenfehler!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Mo 29.08.2005 | | Autor: | zlata |
Danke !
Mir ist ein Fehler unterlaufen, den ich erst jetzt bemerkt habe.
Ich soll die k bestimmen, so dass alle Hochpunkte im 3. Quadranten liegen.
Sorry!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Wäre trotzdem nett, wenn ihr mir noch weiterhelft!
Danke im Voraus
Zlata
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Hallo zlata!
Das gesuchte Ergebnis für $k_$ hat Dir Zwerglein in seiner Antwort bereits geliefert.
Nochmal in Kurzform:
- x-Wert des Hochpunktes bestimmen: [mm] $x_H [/mm] \ = \ 2k$ mit $k \ < \ 0$ !!
- Zugehörigen Funktionswert [mm] $y_H [/mm] \ = \ [mm] f\left(x_H\right) [/mm] \ = \ f(2k)$ nun abschätzen bzw. durch eine Ungleichung darstellen, damit dieser Hochpunkt nun im 3. Quadranten liegt.
Demnch muss ja gelten: [mm] $x_H [/mm] \ < \ 0$ und [mm] $y_H [/mm] \ < \ 0$
Diese Ungleichung $f(2k) \ = \ ... \ < \ 0$ nun nach $k_$ umstellen und man erhält Zwerglein's Ergebnis mit: $-1 \ < \ k \ < \ 0$
Siehe auch folgende Skizze mit verschiedenen k-Werten ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Mo 29.08.2005 | | Autor: | zlata |
DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!DANKE!!!!!!!!!!
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