2x2 Jordansche Normalform < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Do 10.03.2011 | | Autor: | knuck1es |
| Aufgabe | Finden sie die Jordansche Normalform der Matrix
[mm] \begin{pmatrix}
-7 & 9 \\
-4 & 5
\end{pmatrix} [/mm] |
Ich habs das char. Polynom berechnet: [mm] (x+1)^2
[/mm]
-> EW = -1 mit algebraischer Vielfachheit 2
daraus hab ich dann noch den ersten EV gefunden welcher
[mm] \begin{pmatrix}
-6 & 9 \\
-4 & 6
\end{pmatrix}\vektor{x\\y} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0}
[/mm]
-> EV = [mm] \vektor{3\\2}
[/mm]
Dann glaube ich, dass ich das Gleichungssystem
[mm] \begin{pmatrix}
-6 & 9 \\
-4 & 6
\end{pmatrix}\vektor{x\\y} [/mm] = [mm] \vektor{3\\2} [/mm] berechnen muss, aber ab hier bin ich mir unsicher.
Danke für die Hilfe im voraus
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.com/
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Hallo knuckles,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Finden sie die Jordansche Normalform der Matrix
> [mm]\begin{pmatrix}
-7 & 9 \\
-4 & 5
\end{pmatrix}[/mm]
> Ich habs das char.
> Polynom berechnet: [mm](x+1)^2[/mm]
> -> EW = -1 mit algebraischer Vielfachheit 2
> daraus hab ich dann noch den ersten EV gefunden welcher
> [mm]\begin{pmatrix}
-6 & 9 \\
-4 & 6
\end{pmatrix}\vektor{x\\y}[/mm] =
> [mm]\vektor{0\\0}[/mm]
>
> -> EV = [mm]\vektor{3\\2}[/mm]
>
> Dann glaube ich, dass ich das Gleichungssystem
>
> [mm]\begin{pmatrix}
-6 & 9 \\
-4 & 6
\end{pmatrix}\vektor{x\\y}[/mm] =
> [mm]\vektor{3\\2}[/mm] berechnen muss, aber ab hier bin ich mir
> unsicher.
Genauso ist es.
>
> Danke für die Hilfe im voraus
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheplanet.com/
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Do 10.03.2011 | | Autor: | knuck1es |
Da bekomm ich dann [mm] \vektor{1\\1} [/mm] als Ergebnis.
Dh meine Basis ist
[mm] \left\{ \vektor{1\\1};\vektor{3\\2} \right\}
[/mm]
und mein Jordansche Normalform ist
[mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 }
[/mm]
Stimmt das so?
und wie Zerlege ich das jetzt in S^-1 A S = [mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 }
[/mm]
LG
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Hallo knuck1es,
> Da bekomm ich dann [mm]\vektor{1\\1}[/mm] als Ergebnis.
>
> Dh meine Basis ist
> [mm] \left\{ \vektor{1\\1};\vektor{3\\2} \right\}[/mm]
>
> und mein Jordansche Normalform ist
>
> [mm]\pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 }[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und wie Zerlege ich das jetzt in S^-1 A S = [mm]\pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 }[/mm]
>
S besteht aus den ermittelten Vektoren.
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Do 10.03.2011 | | Autor: | knuck1es |
Eine Frage haette ich noch bezüglich der quadratischen Form.
Ich benutze ein Skript einer Kollegin und bin dabei auf eine Ungereimtheit gestoßen.
Und zwar definieren wir:
q:V [mm] \to [/mm] K heißt quadratische Form wenn sie folgende zwei Eigenschaften besitzt.
(i) [mm] q(\alpha [/mm] v) = [mm] \alpha^2 [/mm] q(v) [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V
(ii) [mm] \delta: [/mm] VxV [mm] \to [/mm] K, [mm] \delta [/mm] (v,w) = q(v + w) - q(v) - q(w) ist symmetrische Bilinearform auf V
Aber im nächsten Schritt definieren wir, wenn:
(i) q(v) = [mm] \delta [/mm] (v,v) [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V
(ii) [mm] \delta [/mm] (v,w) = 1/2 ( q(v+w) - q(v) -q(w))
so sagen wir [mm] \delta [/mm] und q würden zueinander gehören.
Stimmt das so? Ich finde es seltsam das ich zwei verschiedene Gleichheiten habe.
Btw: Eigentlich heißt die Bilinearform Sigma, jedoch fand ich das Sigma Zeichen nicht.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Fr 11.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Eine Frage haette ich noch bezüglich der quadratischen
> Form.
Mal ganz dumm gefragt: was hat das mit der Jordanschen Normalform zu tun?
> Ich benutze ein Skript einer Kollegin und bin dabei auf
> eine Ungereimtheit gestoßen.
> Und zwar definieren wir:
> q:V [mm]\to[/mm] K heißt quadratische Form wenn sie folgende zwei
> Eigenschaften besitzt.
> (i) [mm]q(\alpha[/mm] v) = [mm]\alpha^2[/mm] q(v) [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V
> (ii) [mm]\delta:[/mm] VxV [mm]\to[/mm] K, [mm]\delta[/mm] (v,w) = q(v + w) - q(v) -
> q(w) ist symmetrische Bilinearform auf V
Ja, so definiert man das fuer beliebige Koerper $K$. Aus (ii) folgt [mm] $\delta(v, [/mm] v) = 2 q(v)$.
> Aber im nächsten Schritt definieren wir, wenn:
> (i) q(v) = [mm]\delta[/mm] (v,v) [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V
> (ii) [mm]\delta[/mm] (v,w) = 1/2 ( q(v+w) - q(v) -q(w))
> so sagen wir [mm]\delta[/mm] und q würden zueinander gehören.
Das geht nur, wenn in $K$ die $2 = 1 + 1$ nicht gleich 0 ist (also wenn die Charakteristik von $K$ nicht 2 ist, falls dir das schon was sagt). In dem Fall unterscheiden sich die beiden [mm] $\delta$s [/mm] um einen Faktor 2.
Die zweite "Definition" ist halt schoener, daman $q(v) = [mm] \delta(v, [/mm] v)$ hat (so erhaelt man meistens quadratische Formen -- wenn eben nicht $2 = 0$ in $K$ gilt). Die erste Definition hat dagegen den Vorteil, dass sie ueber jeden Koerper funktioniert. Falls $2 = 0$ in $K$ gilt, laesst sich eben nicht jede quadratische Form $q$ als $q(v) = [mm] \delta(v, [/mm] v)$ mit einer symmetrischen Bilinearform [mm] $\delta$ [/mm] darstellen.
> Btw: Eigentlich heißt die Bilinearform Sigma, jedoch fand
> ich das Sigma Zeichen nicht.
Um [mm] $\sigma$ [/mm] zu bekommen, musst du \sigma schreiben. :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:12 Fr 11.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Finden sie die Jordansche Normalform der Matrix
> > [mm]\begin{pmatrix}
-7 & 9 \\
-4 & 5
\end{pmatrix}[/mm]
> > Ich habs das char.
> > Polynom berechnet: [mm](x+1)^2[/mm]
> > -> EW = -1 mit algebraischer Vielfachheit 2
> > daraus hab ich dann noch den ersten EV gefunden
> welcher
> > [mm]\begin{pmatrix}
-6 & 9 \\
-4 & 6
\end{pmatrix}\vektor{x\\y}[/mm] =
> > [mm]\vektor{0\\0}[/mm]
> >
> > -> EV = [mm]\vektor{3\\2}[/mm]
> >
> > Dann glaube ich, dass ich das Gleichungssystem
> >
> > [mm]\begin{pmatrix}
-6 & 9 \\
-4 & 6
\end{pmatrix}\vektor{x\\y}[/mm] =
> > [mm]\vektor{3\\2}[/mm] berechnen muss, aber ab hier bin ich mir
> > unsicher.
>
>
> Genauso ist es.
Muss man nicht, wenn man nur die JNF bestimmen will (und nicht die Transformationsmatrix) reicht es aus [mm] $\dim \ker \begin{pmatrix} -6 & 9 \\ -4 & 6 \end{pmatrix}$ [/mm] zu bestimmen. Und wenn man die Aufgabenstellung woertlich nimmt, steht dort nichts von der Transformationsmatrix. :)
Die Dimension ist hier 1, womit die JNF gleich [mm] $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ [/mm] sein muss. (Wenn die Dimension 2 waer, waer die JNF gleich [mm] $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.)
[/mm]
LG Felix
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