2tes Moment berechnen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Do 25.03.2010 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | | Berechnen sie das zweite Moment und die Varianz von [mm] M_{X}(t)= \bruch{\lambda^{2}}{\lambda^{2}-t^{2}} [/mm] |
Das 2te Moment soll berechnet werden und die Varianz.
Ausgehend von $ [mm] M_{X}(t)=\bruch{\lambda^{2}}{(\lambda^{2}-t^{2})} [/mm] $
Ich habe das 2te Moment folgends berechnet:
Es gilt 2tes Moment:
$ [mm] E(x^{2})=M''_{X}(0) [/mm] $
M'_{X}(t) = $ [mm] \bruch{2t\lambda^{2}}{(\lambda^{2}-t^{2})^{2}} [/mm] $
M''_{X}(t) = $ [mm] \bruch{2\lambda^{2}(\lambda^{2}-t^{2})^{2}+2t\lambda^{2}2(\lambda^{2}-t^{2})2t}{(\lambda^{2}-t^{2})^{4}} [/mm] $ (*)
nach unsauber kürzen und zusammenfassen komme ich auf:
$ [mm] M''_{X}(t)=\bruch{2\lambda^{4}+6t^{2}\lambda^{2}}{(\lambda^{2}-t^{2})^{3}} [/mm] $
Also an der Stelle t=0
$ [mm] M''_{X}(0)=\bruch{2\lambda^{4}}{\lambda^{6}} [/mm] $
Setze ich allerdings (*) t=0 komme ich auf
M''_{X}(0)= 2
Da hackts bei mir grade und ich habe es schon x-mal nachgerechnet komme aber einfach nicht auf die richtige lösung. Denke mir es sollte wenigstens ein $ [mm] \lambda [/mm] $ erhalten bleiben aber der "richtigere" Rechenweg scheint mir der genauere.
Zur Varianz:
Es gilt nach Verschiebungssatz VAR(X)= $ [mm] E(X^{2})-E(X)^{2} [/mm] $
Mit dem ersten und zweiten Moment komme ich dabei auf
$ [mm] VAR(X)=M''_{X}(0)-(M'_{X}(0))^{2} [/mm] $
Dabei habe ich dann das Problem, dass das erste Moment im Punkt t=0 M'_{X}(0)=0 annimmt.
Ist daher hier das zweite Moment gleich der Varianz?
kann man die aussage für $ [mm] D(\lambda)-verteilte [/mm] $ ZV verallgemeinern? (nur eine Zusatzfrage)
Ich danke
Peon
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Hallo Peon,
> Berechnen sie das zweite Moment und die Varianz von
> [mm]M_{X}(t)= \bruch{\lambda^{2}}{\lambda^{2}-t^{2}}[/mm]
> Das 2te
> Moment soll berechnet werden und die Varianz.
> Ausgehend von
> [mm]M_{X}(t)=\bruch{\lambda^{2}}{(\lambda^{2}-t^{2})}[/mm]
>
> Ich habe das 2te Moment folgends berechnet:
> Es gilt 2tes Moment:
> [mm]E(x^{2})=M''_{X}(0)[/mm]
>
> M'_{X}(t) = [mm]\bruch{2t\lambda^{2}}{(\lambda^{2}-t^{2})^{2}}[/mm]
>
> M''_{X}(t) =
> [mm]\bruch{2\lambda^{2}(\lambda^{2}-t^{2})^{2}+2t\lambda^{2}2(\lambda^{2}-t^{2})2t}{(\lambda^{2}-t^{2})^{4}}[/mm]
> (*)
>
> nach unsauber kürzen und zusammenfassen komme ich auf:
>
> [mm]M''_{X}(t)=\bruch{2\lambda^{4}+6t^{2}\lambda^{2}}{(\lambda^{2}-t^{2})^{3}}[/mm]
>
> Also an der Stelle t=0
> [mm]M''_{X}(0)=\bruch{2\lambda^{4}}{\lambda^{6}}[/mm]
>
> Setze ich allerdings (*) t=0 komme ich auf
> M''_{X}(0)= 2
Nach Deinen Ausführungen steht hier: [mm]M''_{X}\left(0\right)=\bruch{2}{\lambda^{2}}[/mm]
>
> Da hackts bei mir grade und ich habe es schon x-mal
> nachgerechnet komme aber einfach nicht auf die richtige
> lösung. Denke mir es sollte wenigstens ein [mm]\lambda[/mm]
> erhalten bleiben aber der "richtigere" Rechenweg scheint
> mir der genauere.
>
> Zur Varianz:
> Es gilt nach Verschiebungssatz VAR(X)= [mm]E(X^{2})-E(X)^{2}[/mm]
> Mit dem ersten und zweiten Moment komme ich dabei auf
> [mm]VAR(X)=M''_{X}(0)-(M'_{X}(0))^{2}[/mm]
> Dabei habe ich dann das Problem, dass das erste Moment im
> Punkt t=0 M'_{X}(0)=0 annimmt.
> Ist daher hier das zweite Moment gleich der Varianz?
Ja.
> kann man die aussage für [mm]D(\lambda)-verteilte[/mm] ZV
> verallgemeinern? (nur eine Zusatzfrage)
>
> Ich danke
> Peon
Gruss
MathePower
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