2^n > n² < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Mo 24.10.2005 | | Autor: | t_irgang |
Hallo,
die Aufgabe die ich zu lösen habe lautet:
Zeigen Sie: Für welche n [mm] \in [/mm] N gilt 2 > n²?
Mein Ansatz lautet:
n=1: 2 > 1 (wahr Aussage)
n+1: [mm] 2^{n+1} [/mm] < 2n²
[mm] 2^{n+1} [/mm] < n² + n²
(n+1)² [mm] \le [/mm] n² + n²
n²+2n+1 [mm] \le [/mm] n² + n²
2n+1 [mm] \le [/mm] n²
2+ [mm] \bruch{1}{n} \le [/mm] n
[mm] \Rightarrow [/mm] n [mm] \ge [/mm] 3
Wenn ich jetzt aber 3 einsetze stimmt es nicht, für n=1 stimmt aber die Gleichung wieder und für n [mm] \ge [/mm] 5 auch. Ich weiss deshalb die Antwort auf die Frage nur kann ich das leider nicht begründen. Kann mir jemand erklären wie ich vom Beweis (?) auf den Definitionsbereich komme?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Youri |
> Hallo,
Hallo Thomas!
> die Aufgabe die ich zu lösen habe lautet:
> Zeigen Sie: Für welche n [mm]\in[/mm] N gilt 2 > n²?
> Mein Ansatz lautet:
> n=1: 2 > 1 (wahr Aussage)
Das stimmt 
Allerdings stimmt die Aussage für [mm]n=\{2;3;4\}[/mm]
nicht mehr.
Daher würde ich empfehlen, den Beweis für [mm]n\ge5[/mm] per Induktion zu vollenden.
> n+1: [mm]2^{n+1}[/mm] < 2n²
> [mm]2^{n+1}[/mm] < n² + n²
> (n+1)² [mm]\le[/mm] n² + n²
> n²+2n+1 [mm]\le[/mm] n² + n²
> 2n+1 [mm]\le[/mm] n²
> 2+ [mm]\bruch{1}{n} \le[/mm] n
> [mm]\Rightarrow[/mm] n [mm]\ge[/mm] 3
Ehrlich gesagt ist mir nicht so richtig klar, was Du hier machst...
> Wenn ich jetzt aber 3 einsetze stimmt es nicht, für n=1
> stimmt aber die Gleichung wieder und für n [mm]\ge[/mm] 5 auch. Ich
> weiss deshalb die Antwort auf die Frage nur kann ich das
> leider nicht begründen. Kann mir jemand erklären wie ich
> vom Beweis (?) auf den Definitionsbereich komme?
Ich denke, man überlegt sich zunächst, aber welchem Wert für n die Aussage Allgemeingültigkeit hat - und für diese Werte beweist Du es mit dem Anfangswert [mm]n=5[/mm] per Induktion.
Lieben Gruß,
Andrea.
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