2dimensionalen Kern berechnen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Di 08.02.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
wollte mal zum Spaß vor meiner LA-Klausur morgen nen 2dimensionalen Kern berechnen. Dafür scheine ich aber echt zu böd zu sein.
Naja wer hilft mir mal eben am besten innerhalb der nächsten paar stunden. Es geht ja eigentlich mehr um das Auflösen des Gleichungssystems. Ich kriege das aber nicht gebacken.
Ok folgende Matrix:
[mm] \pmat{3&-6&-6\\-1&2&2\\3&-6&-6}
[/mm]
ok man sieht ja direkt, dass das Bild nur eindimensional ist und damit der Kern 2dimensional.
bei einer Nullzeile weiß ich, dass ich am besten die alles durch eine Unbekannte ausdrücke und die dann herausziehe und dann [mm] \lamda*\vec{a} [/mm] dastehen habe und das ist ja dann mein Kern aber wie mache ich das mit 2 Unbekannten?
Würd mich über eine schnelle Antwort freuen. Vielen Dank
Shaguar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Di 08.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Shaguar!
> Moin,
> wollte mal zum Spaß vor meiner LA-Klausur morgen nen
> 2dimensionalen Kern berechnen. Dafür scheine ich aber echt
> zu böd zu sein.
>
> Naja wer hilft mir mal eben am besten innerhalb der
> nächsten paar stunden. Es geht ja eigentlich mehr um das
> Auflösen des Gleichungssystems. Ich kriege das aber nicht
> gebacken.
>
> Ok folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{3&-6&-6\\-1&2&2\\3&-6&-6}
[/mm]
>
> ok man sieht ja direkt, dass das Bild nur eindimensional
> ist und damit der Kern 2dimensional.
Das ist im Prinzip gar nicht so schwer. Ich bezeichne deine Matrix mit $A$, d.h. [mm]A:=\pmat{3&-6&-6\\-1&2&2\\3&-6&-6}[/mm].
Du suchst nun die [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\in\IR^3$, [/mm] so dass $A*x=0$ (wobei [mm] $0=\vektor{0\\0\\0}\in \IR^3$ [/mm] ist) gilt (es ist ja [m]Ker(A)=\left\{x \in \IR^3:\;A*x=0\right\}[/m]).
Dann hast du im Prinzip ja nur eine Gleichung (3 mal) da stehen, und zwar:
[mm] $(\star)$ $-x_1+2x_2+2x_3=0$ [/mm] (die anderen zwei Gleichungen sind ja offensichtlich zu dieser äquivalent).
Also kannst du stets 2 Variablen (z.B. [mm] $x_2=r$ [/mm] und [mm] $x_3=s$) [/mm] frei wählen und erhältst dann aus [mm] $(\star)$:
[/mm]
[mm] $x_1=2x_2+2x_3=2r+2s$ [/mm] (mit $r,s [mm] \in \IR$ [/mm] frei wählbar).
D.h.:
[mm]Ker(A)=\left\{\vektor{x_1\\r\\s}:\;x_1=2r+2s;r,s \in \IR\right\}
=\left\{\vektor{2r+2s\\r\\s}:\;r,s \in \IR\right\}
=\left\{r*\vektor{2\\1\\0}+s*\vektor{2\\0\\1}:\;r,s \in \IR\right\}[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Di 08.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Da schreibe ich sowas:
"...(die anderen zwei Gleichungen sind ja offensichtlich zu dieser äquivalent)."
und dann erscheint in meiner Signatur sowas:
"'Offensichtlich' ist das gefährlichste Wort in der Mathematik. [Eric Temple Bell, Mathematiker, 1883-1960]"
Oh oh... 
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